1変数の停留位相

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.1　★★★ 激しく振動する積分は、位相の停留点のまわりの Gauss 積分だけで決まる

第3部第1章（第3部第1章）は、古典の経路が選ばれる理由を「作用が停留する経路のまわりでは位相がそろう」と言葉で述べ、式にするのを先送りにした。第3部第2章（第3部第2章）は基準から時間分割の経路積分

$$\begin{gather*}K(x_f,t;x_i,0)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar},\tag{3.4.1}\\S_N=\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(x_k)\Bigr]\end{gather*}$$

を導いた（$\epsilon=t/N$、$x_0=x_i$、$x_N=x_f$）。この章は第3部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、「得意な問題」の最初の1つである古典極限を受け持つ。出発点は式 (3.4.1) そのもので、新しい要請は置かない。

道具は1つだけで、停留位相の方法である。$\hbar$ が作用に比べて小さいとき、指数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ は経路を少し変えるだけで激しく振動し、足し合わせると打ち消し合う。打ち消し合わないのは、経路を変えても作用が1次で変わらない経路、つまり $\delta S=0$ を満たす古典軌道の近くだけである。この考えを1変数の積分で式にし（3.4.1節）、多重積分 (3.4.1) に当てると、古典軌道が選ばれること（3.4.2節）と、そのまわりの揺らぎが前因子を決めること（3.4.3節）が出てくる。結果は Van Vleck の公式

$$K(x_f,t;x_i,0)\approx\sum_{\text{古典軌道}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar}}\Bigl\lvert\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial x_f\,\partial x_i}\Bigr\rvert^{1/2} \exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}(x_f,t;x_i)-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\nu\Bigr)\tag{3.4.2}$$

である。$\nu$ はその軌道が途中で通った焦点の数で、焦点を越えるたびに位相が $\pi/2$ ずれる理由は3.4.4節で示す。3.4.5節では、式 (3.4.2) の位相 $S_{\mathrm{cl}}$ が Hamilton–Jacobi 方程式を、前因子の2乗が連続の式を満たすことを示し、時間について Fourier 変換して WKB 近似の振幅 $1/\sqrt p$ を出す。3.4.6節は、同じ古典極限が基準・流体（第7部）・位相空間（第5部）・行列力学（第2部）でどう書けるかを並べる。

この章でも位置を $x$、経過時間を $t$ と書く。古典軌道の作用を、両端と経過時間の関数として $S_{\mathrm{cl}}(x_f,t;x_i)$ と書く（解析力学の Hamilton の主関数に始点の引数を足したもの）。

Fresnel 積分

出発点は、第3部第1章で前因子を決めるのに使った Fresnel 積分である。実数 $a\neq0$ について

$$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d} y\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} ay^2/(2\hbar)}=\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\lvert a\rvert }}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\operatorname{sgn}(a)/4}\tag{3.4.3}$$

が成り立つ。左辺は収束因子 $\mathrm{e}^{-\delta y^2}$ を掛けて $\delta\to+0$ とした値で、$\sqrt{\pi/(\delta-\mathrm{i} a/(2\hbar))}$ の主値の極限として右辺が出る。$a>0$ なら右辺は $\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar/a}$（$\sqrt\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$）、$a<0$ なら $\sqrt{2\pi\hbar/\lvert a\rvert }\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ である。位相 $\pm\pi/4$ は、2次関数の向き（上に凸か下に凸か）で決まる。この符号が3.4.4節の焦点の位相 $-\pi/2$ の起源になる。

停留位相の公式

滑らかな実関数 $\varphi(y)$ と、滑らかで速く減衰する $g(y)$ について

$$I(\hbar)=\int\mathrm{d} y\,g(y)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(y)/\hbar}\tag{3.4.4}$$

を $\hbar\to0$ で評価する。$\varphi'(y)\neq0$ の所では、$y$ が $2\pi\hbar/\lvert \varphi'\rvert$ だけ動くたびに位相が1周するので、$g$ がほぼ一定に見える区間で正と負の寄与が打ち消し合う。部分積分 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/\hbar}=\frac{\hbar}{\mathrm{i}\varphi'}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/\hbar}$ を $n$ 回繰り返すと、停留点の無い区間からの寄与は $\mathcal{O}(\hbar^n)$ より速く小さくなることがわかる。

残るのは $\varphi'(y_*)=0$ を満たす停留点 $y_*$ の近くである。$\varphi''(y_*)\neq0$（非退化）なら、$\varphi(y)=\varphi(y_*)+\frac12\varphi''(y_*)(y-y_*)^2+\mathcal{O}((y-y_*)^3)$ と展開し、$g$ を $g(y_*)$ で置き換えて式 (3.4.3) を使うと

$$I(\hbar)=\sum_{y_*}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\lvert \varphi''(y_*)\rvert }}\;g(y_*)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(y_*)/\hbar+\mathrm{i}\pi\operatorname{sgn}\varphi''(y_*)/4}\,\bigl[1+\mathcal{O}(\hbar)\bigr]\tag{3.4.5}$$

を得る。寄与する $y$ の幅は $\sqrt{\hbar/\lvert \varphi''\rvert }$ で、$\hbar\to0$ で停留点に縮む。この幅の中で3次の項は $\hbar^{3/2}/\hbar=\hbar^{1/2}$ の大きさの位相しか加えず、奇数次の項は対称な積分で消えるので、補正は $\hbar$ の1次から始まる。

多変数の停留位相

$n$ 変数の積分 $\int\mathrm{d}^ny\,g(\bm{y})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{y})/\hbar}$ では、停留点 $\nabla\varphi(\bm{y}_*)=0$ のまわりの2次の項を Hessian 行列 $\Phi_{jk}=\partial_j\partial_k\varphi(\bm{y}_*)$ で書き、$\Phi$ を直交行列で対角化すると、固有値ごとに式 (3.4.3) が1つずつ出る。固有値の積は $\det\Phi$、位相は正の固有値の数 $n_+$ と負の固有値の数 $n_-$ の差で決まるので

$$\int\mathrm{d}^ny\,g(\bm{y})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{y})/\hbar}\approx\sum_{\bm{y}_*}\frac{(2\pi\hbar)^{n/2}}{\lvert \det\Phi\rvert ^{1/2}}\,g(\bm{y}_*)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{y}_*)/\hbar+\mathrm{i}\pi(n_+-n_-)/4}\tag{3.4.6}$$

である。$n_+-n_-$ を Hessian の符号数と呼ぶ。$n_-=0$ なら位相は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi n/4}$ で、前因子は $(2\pi\mathrm{i}\hbar)^{n/2}/\sqrt{\det\Phi}$ とまとめて書ける。経路積分 (3.4.1) は $n=N-1$ 変数の積分なので、3.4.3節でこの式をそのまま当てる。