二重スリットの規則：確率でなく振幅を足す

量子力学の様々な構成方法　第3部 第1章 §3.1.1　★★ 量子力学の確率は「振幅を足してから2乗する」で決まり、経路を見分けると干渉が消える

第3部は、Feynman が 1948 年に示した量子力学の組み立て方を扱う。第2部の行列力学は物理量の演算子と交換関係を公理に置いたが、Feynman の構成は演算子を使わず、粒子がたどりうるすべての経路に複素数の振幅を1つずつ割り当て、それを足すことを公理に置く。この章は、部の型（計画の「出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界」）のうち、最初の「出発点の要請」と「基本の対象」を受け持つ。

議論の順序は次のとおりである。

1. 二重スリットの実験から、確率でなく複素数の振幅を足すという規則を取り出す（3.1.1節）。
2. スリットと衝立を増やす思考実験で、「すべての経路の振幅の和」という形と、振幅の合成則を導く（3.1.2節）。
3. 各経路の振幅を $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ とおく Feynman の要請を述べる（3.1.3節）。
4. 自由粒子で前因子を決め、要請が合成則と矛盾しないことを確かめる（3.1.4節）。
5. その結果を使って二重スリットの縞を最後まで計算する（3.1.5節）。

最後から2番目の3.1.6節では、この章で置いた対象が基準（第1部の状態ベクトルと演算子）の言葉で何に当たるかを並べる。一般の場合の同値性の証明は、基準から経路積分への向きを第3部第2章、逆向きを第3部第5章で行う。この章では自由粒子に限って両向きを確かめる。

この章では1次元の位置を $x$、時刻を $t$ と書く。記法の正本の一般化座標 $q$ と同じものである。

図 3.1.1 の配置を考える。源 S から粒子を1個ずつ放ち、2本のスリット 1・2 をあけた衝立を通して、距離 $\ell$ だけ離れた検出面のどこに着いたかを記録する。検出面の位置を $x$ とし、多数回くり返して着いた位置の分布 $P(x)$ を求める。スリット 1 だけをあけたときの分布を $P_1(x)$、スリット 2 だけをあけたときの分布を $P_2(x)$ とする。

粒子が古典的な小球なら、検出面に着いた粒子はどちらか一方のスリットを通ってきたので、両方をあけたときの分布は

$$P_{12}^{\mathrm{古典}}(x)=P_1(x)+P_2(x)\tag{3.1.1}$$

になるはずである。電子・中性子・原子で実際に測ると、両方をあけたときの分布は式 (3.1.1) と合わず、縞を持つ。しかも粒子を1個ずつ間隔をあけて送っても、着地点を積み重ねると同じ縞ができる。電子を1個ずつ送って縞が積み上がる様子は Tonomura らの実験で記録された（A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa (1989), Am. J. Phys. 57, 117）。

振幅の規則

この結果は、各スリットを通る過程に複素数の確率振幅を割り当て、確率をその絶対値の2乗とする規則で説明することができる。スリット 1 を通って $x$ に着く振幅を $\mathcal A_1(x)$、スリット 2 を通る振幅を $\mathcal A_2(x)$ とする。片方だけをあけたときの分布はその絶対値の2乗で、$P_j=\lvert \mathcal A_j\rvert ^2$（$j=1,2$）である。両方をあけたときは振幅を足してから2乗する。

$$P_{12}(x)=\lvert \mathcal A_1(x)+\mathcal A_2(x)\rvert ^2=P_1(x)+P_2(x)+2\sqrt{P_1(x)P_2(x)}\,\cos\theta(x)\tag{3.1.2}$$

ここで $\theta(x)=\arg\mathcal A_1(x)-\arg\mathcal A_2(x)$ は2つの振幅の位相差である。右辺の第3項を干渉項と呼ぶ。式 (3.1.1) からのずれはすべてこの項にある。

位相差 $\theta(x)$ がどう決まるかは、この節では de Broglie の関係を仮定して先に書いておく。運動量 $p$ の粒子に波長 $\lambda=2\pi\hbar/p$ の波を対応させると、位相差は経路の長さの差に $p/\hbar$ を掛けたものになる。検出面が遠い（$\ell\gg d,\ \ell\gg\lvert x\rvert$）とき、図 3.1.1 の幾何から $r_2-r_1\approx xd/\ell$ なので、

$$\theta(x)\approx\frac{p\,d}{\hbar\,\ell}\,x,\qquad \Delta x=\frac{2\pi\hbar\,\ell}{p\,d}=\frac{\lambda\,\ell}{d}\tag{3.1.3}$$

を得る。$\Delta x$ は縞の間隔である。3.1.3節では、この de Broglie の関係を仮定せず、経路の作用から同じ位相差を導く。

経路を見分けると干渉が消える

スリットのそばに検出器を置き、粒子がどちらを通ったかを記録すると、縞は消えて式 (3.1.1) に戻る。規則の言葉では、「通ったスリット」という区別が最終的な状況（検出器の記録）に残るとき、2つの過程は別の結果とみなされ、振幅でなく確率を足す。まとめると、次の3つの規則になる。

規則 3 は、検出器の記録が完全でなく部分的にしか見分けられない場合の扱いを決めていない。その場合は 3.1.6節で基準の言葉に移してから、合成系の状態と部分トレースで扱う（総合問題 (3) で計算する）。

縞がどれだけはっきり見えるかは、極大と極小の強度 $P_{\max}$、$P_{\min}$ から作った可視度

$$\mathcal V=\frac{P_{\max}-P_{\min}}{P_{\max}+P_{\min}}=\frac{2\sqrt{P_1P_2}}{P_1+P_2}\tag{3.1.4}$$

で測る。2つ目の等号は、式 (3.1.2) で $\cos\theta=\pm1$ とおき、$P_1$・$P_2$ が縞の1周期の間でほぼ一定であることを使った。$P_1=P_2$ なら $\mathcal V=1$、経路を完全に見分けると干渉項が無いので $\mathcal V=0$ になる。