二重スリットを伝播関数で計算する

量子力学の様々な構成方法　第3部 第1章 §3.1.5　★★ 要請と合成則だけで二重スリットの縞を最後まで出し、波束の広がり（共通例題③）と遠方の縞の間隔が一緒に出る

3.1.1節の縞を、ここまでに置いた道具だけで計算し直す。de Broglie の関係も、遠方の近似も、最初には使わない。

模型：ガウス型のスリット

粒子は進行方向（$z$ 方向）に速さ $v$ で進み、衝立から検出面までを時間 $t=\ell/v$ で飛ぶとする。自由粒子の作用は $z$ の部分と $x$ の部分の和なので、伝播関数も2つの積に分かれ、$z$ の部分はどの経路にも共通の因子になる。そこで横方向の座標 $x$ だけを1次元の自由粒子として扱う。

縁の鋭いスリットの代わりに、ガウス関数の形で粒子を通すスリットを考える。衝立を通った直後（時刻 $0$）の横方向の振幅を

$$\psi(x,0)=\mathcal N\bigl[g(x-\tfrac d2)+g(x+\tfrac d2)\bigr],\qquad g(x)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}\,\mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_0^2)}\tag{3.1.17}$$

とおく。$\lvert g\rvert ^2$ は標準偏差 $\sigma_0$ の正規分布で、$\sigma_0$ がスリットの幅に当たる。2つのガウス関数の重なりは $\int g(x-\frac d2)g(x+\frac d2)\,\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-d^2/(8\sigma_0^2)}$ なので、規格化の定数は $\mathcal N^2=1/[2(1+\mathrm{e}^{-d^2/(8\sigma_0^2)})]$ である。

1本のスリットからの波束

式 (3.1.10) に式 (3.1.16) と $g$ を入れると、積分は式 (3.1.15) の形になる。長さの次元を持つ量 $\sigma_0$ と時間の次元を持つ量

$$t_*=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{3.1.18}$$

を使うと、結果は次のように書ける。

$$\psi_g(x,t)\coloneqq\int\mathrm{d} x'\,K_0(x,t;x',0)\,g(x')=\frac{(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}}{\sqrt{1+\mathrm{i} t/t_*}}\exp\Bigl[-\frac{x^2}{4\sigma_0^2(1+\mathrm{i} t/t_*)}\Bigr]\tag{3.1.19}$$

導出は例題 3.1.4 と同じ平方完成で、$\alpha=1/(4\sigma_0^2)-\mathrm{i} m/(2\hbar t)$ とおけばよい。指数を実部と虚部に分けるため、$1/(1+\mathrm{i} t/t_*)=(1-\mathrm{i} t/t_*)/(1+t^2/t_*^2)$ を使い、

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2\Bigl(1+\frac{t^2}{t_*^2}\Bigr)=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2\tag{3.1.20}$$

とおく。すると

$$\lvert \psi_g(x,t)\rvert ^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma(t)^2}}\,\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma(t)^2)},\qquad \arg\psi_g(x,t)=\frac{x^2\,t}{4\sigma(t)^2\,t_*}+({x}\text{ によらない項})\tag{3.1.21}$$

となる。1本のスリットを出た波束は、幅が式 (3.1.20) のとおり広がる。これは巻の共通例題③の波束の広がりと同じ式である。時間 $t_*$ は、幅が $\sqrt2$ 倍になるまでの時間である。

2本のスリットの縞

2本のスリットからの波束は、式 (3.1.19) の $x$ を $x\mp d/2$ に置き換えたもので、$\psi_\pm(x,t)=\psi_g(x\mp\frac d2,t)$ と書く。式 (3.1.10) は $\psi(x,0)$ について線形なので、時刻 $t$ の振幅は $\mathcal N(\psi_++\psi_-)$ である。干渉項 $2\operatorname{Re}(\psi_+\psi_-^*)$ では前因子の位相 $1/\sqrt{1+\mathrm{i} t/t_*}$ が打ち消し、位相の差は式 (3.1.21) から$[(x-\frac d2)^2-(x+\frac d2)^2]\,t/(4\sigma^2t_*)=-k_{\mathrm f}x$ になる。結果は

$$P(x,t)=\frac{\mathcal N^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\Bigl[\mathrm{e}^{-(x-d/2)^2/(2\sigma^2)}+\mathrm{e}^{-(x+d/2)^2/(2\sigma^2)} +2\,\mathrm{e}^{-(x^2+d^2/4)/(2\sigma^2)}\cos(k_{\mathrm f}x)\Bigr]\tag{3.1.22}$$

$$k_{\mathrm f}=\frac{d\,t}{2\sigma(t)^2\,t_*}\tag{3.1.23}$$

である（$\sigma=\sigma(t)$）。角括弧の第1項と第2項が式 (3.1.2) の $P_1$ と $P_2$、第3項が干渉項で、縞の間隔は $2\pi/k_{\mathrm f}$ である。式 (3.1.22) は近似を使っていない。

遠方の縞

検出面が遠く $t\gg t_*$ のとき、$\sigma(t)\approx\sigma_0t/t_*=\hbar t/(2m\sigma_0)$ となり、式 (3.1.23) は

$$k_{\mathrm f}\to\frac{m\,d}{\hbar\,t},\qquad \frac{2\pi}{k_{\mathrm f}}\to\frac{2\pi\hbar\,t}{m\,d}=\frac{\lambda\,\ell}{d}\quad(t=\ell/v,\ \lambda=2\pi\hbar/(mv))\tag{3.1.24}$$

に近づく。これは 3.1.1節で de Broglie の関係を仮定して書いた縞の間隔 (3.1.3) であり、式 (3.1.13) の作用の差とも一致する。厳密な間隔と遠方の値の比は $1+(t_*/t)^2$ である。

図 3.1.3 に、$d=8\sigma_0$、$t=20\,t_*$ の強度を示す。点線が式 (3.1.22)（厳密）、赤の実線が遠方の近似（包絡線を中心 $0$・幅 $\sigma_0t/t_*$ のガウス関数とし、縞の波数を $md/(\hbar t)$ としたもの）、灰色の破線が経路を見分けたときの $P_1+P_2$ である。縞の間隔は厳密に $31.49\,\sigma_0$、遠方の近似で $10\pi\,\sigma_0=31.42\,\sigma_0$ である。