自由粒子：前因子を決め、合成則を確かめる

量子力学の様々な構成方法　第3部 第1章 §3.1.4　★★ 前因子は「時間0で何も動かない」から決まり、自由粒子では折れ線の和が厳密に閉じる

式 (3.1.12) の前因子 $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{N/2}$ は天下りに置いた。この節では、時間を区切った1区間の振幅が満たすべき条件から、それを決める。あわせて、要請 (II) で作った振幅が前節の合成則 (3.1.9) と矛盾しないことを、自由粒子で確かめる。

1区間の振幅と前因子

$V=0$ の粒子の1区間（時間 $\epsilon$）の振幅を、前因子 $c(\epsilon)$ を未知のまま

$$K_\epsilon(x',x)=c(\epsilon)\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m(x'-x)^2}{2\hbar\epsilon}\Bigr]\tag{3.1.14}$$

と書く。$\epsilon\to0$ では時間が経たないので、式 (3.1.10) の右辺は $\psi(x',t)$ そのものに戻らなければならない。これは $K_\epsilon(x',x)\to\delta(x'-x)$ を意味し、とくに $\int K_\epsilon(x',x)\,\mathrm{d} x'=1$ を要求する。

この積分には次の Gauss 積分（Fresnel 積分）を使う。

$$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha y^2+\beta y}\,\mathrm{d} y=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;\mathrm{e}^{\beta^2/(4\alpha)}\qquad(\operatorname{Re}\alpha\ge0,\ \alpha\ne0)\tag{3.1.15}$$

平方根は主値をとる。$\operatorname{Re}\alpha=0$ のときは被積分関数が減衰しないので、$\alpha$ に小さい正の実部を足して積分し、最後に $0$ に戻す（収束因子）。物理の言葉では、時間 $\epsilon$ をわずかに $\epsilon(1-\mathrm{i}\eta)$（$\eta>0$）とずらすことに当たる。

式 (3.1.14) では $\alpha=-\mathrm{i} m/(2\hbar\epsilon)$、$\beta=0$ なので、

$$\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m y^2}{2\hbar\epsilon}\Bigr]\mathrm{d} y=\sqrt{\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}}$$

である。したがって規格化の条件から $c(\epsilon)=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}$ が決まる。これを $N$ 区間ぶん掛けたものが前因子 $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{N/2}$ である。

指数の幅は $\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ の程度で、$\epsilon\to0$ で $0$ に縮む。そのため $K_\epsilon$ を滑らかな関数に掛けて積分すると、その関数の $x$ での値に近づく。

自由粒子の伝播関数

前因子が決まったので、2つの区間をつなぐ。時間 $t_1$ の振幅と時間 $t_2$ の振幅を中間の位置 $y$ で積分すると（例題 3.1.4）、

$$\int\mathrm{d} y\;K_{t_2}(x_f,y)\,K_{t_1}(y,x_i)=K_{t_1+t_2}(x_f,x_i)$$

が厳密に成り立つ。式 (3.1.12) の $N-1$ 回の積分をこの関係で1回ずつ行うと、どの $N$ でも同じ形が残り、極限をとる前に答えが決まる。

$$K_0(x_f,t;x_i,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\;\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2}{2\hbar t}\Bigr]\tag{3.1.16}$$

これは巻の共通例題③の伝播関数そのものである（巻の補足の正答表と同じ形）。第3部第3章では、これを古典の経路と揺らぎに分ける方法で解き直し、同じ方法を調和振動子へ広げる。

式 (3.1.16) の指数は、古典の経路の作用 $S_{\mathrm{cl}}=m(x_f-x_i)^2/(2t)$ を $\hbar$ で割ったものになっている。自由粒子では、すべての経路の和をとった結果が、古典の経路1本の位相に前因子を掛けたものと厳密に一致する。これは作用が経路の2次式であることによる（第3部第3章）。

また $\lvert K_0\rvert ^2=m/(2\pi\hbar t)$ は $x_f$ によらない。1点から出た粒子は、時間が経つとどこにでも同じ重みで見つかる。位置を1点に決めた状態は運動量がまったく決まっていないので、この結果は不確定性関係と整合している。