Feynman の要請：各経路の振幅は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$

量子力学の様々な構成方法　第3部 第1章 §3.1.3　★★★ 経路積分の構成の公理そのもの。すべての経路が同じ大きさで寄与し、位相だけが作用で決まる

前節で、量子力学の振幅は「すべての経路の振幅の和」の形に書けることを見た。残るのは、1本の経路 $x(t)$ にどんな複素数を割り当てるかである。Feynman はこれを次の2つの要請で決めた（R. P. Feynman (1948), Rev. Mod. Phys. 20, 367）。

要請 (I) は前節の規則を経路の言葉で言い直したもので、新しいのは要請 (II) である。古典力学では作用は停留値をとる1本の経路を選ぶための道具だったが、ここでは作用が経路ごとの位相を与える量に変わる。古典の経路は特別扱いされず、ほかのどの経路とも同じ大きさの重みで和に入る。

時間を区切った形

要請 (II) を式 (3.1.8) に入れる。$L=\frac m2\dot x^2-V(x)$ の粒子について、隣り合う時刻の間を直線で結んだ折れ線の経路の作用を

$$S_N(x_0,x_1,\dots,x_N)=\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\left[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(x_k)\right],\qquad x_0=x_i,\ x_N=x_f\tag{3.1.11}$$

とおくと、伝播関数は

$$K(x_f,t_f;x_i,t_i)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar} \eqqcolon\int_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f}\mathcal Dx\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}\tag{3.1.12}$$

になる。右端は左の極限の略記で、$\mathcal Dx$ を経路積分の測度と呼ぶ。前因子 $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{N/2}$ は、極限が存在して意味のある値になるように選んだ定数で、どの経路にも共通である（次節で自由粒子から決める）。

$V(x_k)$ を区間の左端で評価するか中点で評価するかの違いは、$V$ が滑らかなら $N\to\infty$ で結果に残らない。これは第3部第2章で基準から式 (3.1.12) を導くときに確かめる。

Feynman 自身が述べているように、作用を位相に置く考えは Dirac が先に示していた。Dirac は、短い時間 $\epsilon$ の遷移振幅 $\langle x_{k+1},t_{k+1} | x_k,t_k \rangle$ が $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon L/\hbar}$ に「対応する」ことを指摘した（P. A. M. Dirac (1933), Phys. Z. Sowjetunion 3, 64）。Feynman は、この対応を等式として要請に置き、それだけで量子力学を組み立て直した。

作用から de Broglie の位相差が出る

要請 (II) が前節の de Broglie の関係を含むことを、二重スリットで確かめる。力の働かない粒子が、時刻 $0$ にスリット（位置 $x_j$）を出て検出面の $x$ に着くとする。飛行時間を $t$ とすると直線の経路の作用は $S=m(x-x_j)^2/(2t)$ である（進行方向の運動の作用は2本の経路で共通なので省く）。スリット 1 を $x_1=d/2$、スリット 2 を $x_2=-d/2$ とすると、作用の差は

$$\frac{S_1-S_2}{\hbar}=\frac{m}{2\hbar t}\Bigl[\bigl(x-\tfrac d2\bigr)^2-\bigl(x+\tfrac d2\bigr)^2\Bigr]=-\frac{m\,d\,x}{\hbar\,t}\tag{3.1.13}$$

になる。進行方向の速さを $v$、検出面までの距離を $\ell$ とすると $t=\ell/v$ である。これを入れると大きさは $p\,d\,x/(\hbar\ell)$（$p=mv$）になり、式 (3.1.3) の位相差と一致する。

de Broglie の波長は、要請 (II) のもとで作用の差から出てくる量である。各スリットの経路を直線の1本で代表させてよい理由は、次の小節の停留の議論と 3.1.5節の厳密な計算で示す。

古典の経路が選ばれる理由

要請 (II) では古典の経路も特別扱いされないので、日常の物体が古典の経路をたどることは説明が要る。作用が $\hbar$ に比べて大きい系では、経路を少しずらすだけで位相 $S/\hbar$ が大きく変わり、隣り合う経路の寄与は符号の違う複素数として打ち消し合う。打ち消しが起こらないのは、経路をずらしても作用が1次では変わらない経路、すなわち $\delta S=0$ を満たす古典の経路の近くだけである。この議論を停留位相の方法として式で示すのは第3部第4章で、そこで Hamilton–Jacobi 方程式と WKB 近似へつなげる。