橋：基準の言葉で同じものを書く

量子力学の様々な構成方法　第3部 第1章 §3.1.6　★★★ 伝播関数は時間発展の演算子の位置表示、合成則は完全系の挿入。自由粒子で両向きを確かめる

この章で置いた対象を、基準（第1部の状態ベクトルと演算子）の言葉に移す。これは巻の同値性の地図の「状態ベクトル ↔ 経路積分」の橋に当たる。橋の一般の証明は、基準から経路積分へが第3部第2章（時間分割と完全系の挿入）、経路積分から基準へが第3部第5章（短い時間の核から Schrödinger 方程式）である。ここでは対応を式で並べ、自由粒子に限って両向きを示す。

対応表

基準では、状態 $| \psi(t) \rangle$ は Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t| \psi \rangle =\hat H| \psi \rangle$ に従い、$\hat H$ が時間によらなければ $| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t-t')/\hbar}| \psi(t') \rangle$ である。この章の対象との対応は次のとおりである。

$$\begin{align*}K(x_f,t_f;x_i,t_i)&=\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t_f-t_i)/\hbar} | x_i \rangle\tag{3.1.25}\\\psi(x,t)&=\langle x | \psi(t) \rangle\tag{3.1.26}\\\text{合成則~(3.1.9)}\quad&\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t_f-t_i)/\hbar}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t_f-t)/\hbar}\Bigl(\int\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |\Bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H(t-t_i)/\hbar}\tag{3.1.27}\\K\to\delta(x_f-x_i)\ (t_f\to t_i)\quad&\Longleftrightarrow\quad\langle x_f | x_i \rangle =\delta(x_f-x_i)\tag{3.1.28}\end{align*}$$

式 (3.1.27) の右辺の括弧は位置の固有状態の完全性 $\int\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |=\hat 1$ で、左右の指数関数は $\hat H$ が自分自身と可換であることから1つにまとめることができる。3.1.2節で「隙間なくあけた衝立のどこを通ったかで道すじを分ける」と言ったことは、基準では「位置の固有状態で完全系を挟む」ことに当たる。式 (3.1.10) は式 (3.1.27) と同じ操作を $| \psi(t') \rangle$ に当てたものである。

振幅の規則（3.1.1節の要点の箱）も基準の言葉に移る。

1. 規則 1 は Born の規則（第1部第2章）である。位置 $x$ に見つかる確率密度は $\lvert \langle x | \psi \rangle \rvert ^2$ になる。
2. 規則 2 は重ね合わせの原理である。衝立を通った直後の状態は $| \psi \rangle =c_1| 1 \rangle +c_2| 2 \rangle$（$| j \rangle$ はスリット $j$ を通った状態）で、時間発展が線形なので振幅の和が保たれる。
3. 規則 3 は合成系の状態で書ける。検出器の状態を $| D_j \rangle$ として $c_1| 1 \rangle \otimes| D_1 \rangle +c_2| 2 \rangle \otimes| D_2 \rangle$ とし、検出器について部分トレースをとると、干渉項に $\langle D_2 | D_1 \rangle$ が掛かる。

規則 3 で $\langle D_2 | D_1 \rangle =0$ なら干渉項が消え、$\lvert \langle D_2 | D_1 \rangle \rvert =1$ なら規則 2 に戻る。その中間を扱えることが基準の言葉に移す利点で、部分トレースと密度行列による扱いは第4部第1章・第4部第2章で行う。

自由粒子で両向きを示す

基準から経路積分の向きは、式 (3.1.25) の右辺を自由粒子 $\hat H=\hat p^2/(2m)$ について計算し、式 (3.1.16) が出ることを示せばよい（例題 3.1.6）。

経路積分から基準の向きは、式 (3.1.16) の $K_0$ が Schrödinger 方程式を満たすことを確かめる。$x_f$ を $x$ と書いて微分すると

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_tK_0=\Bigl[-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2t}+\frac{m(x-x_i)^2}{2t^2}\Bigr]K_0,\qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2K_0=\Bigl[-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2t}+\frac{m(x-x_i)^2}{2t^2}\Bigr]K_0$$

となり、両者は等しい。さらに 3.1.4節で見たとおり $t\to0$ で $K_0\to\delta(x-x_i)$ である。

Schrödinger 方程式の解は初期条件で一つに決まるので、$K_0$ は $\langle x | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat p^2t/(2m\hbar)} | x_i \rangle$ に等しい。一般のポテンシャルでは、短い時間の核を $\epsilon$ について展開して同じことを示す。その証明が第3部第5章である。

学部の授業での書き方との対応

学部の量子力学の授業では、二重スリットを波動関数の重ね合わせ $\psi=\psi_1+\psi_2$ と $\lvert \psi\rvert ^2=\lvert \psi_1\rvert ^2+\lvert \psi_2\rvert ^2+2\operatorname{Re}(\psi_1\psi_2^*)$ で説明することが多い。これは式 (3.1.2) と同じで、$\psi_j$ を「スリット $j$ を通る経路の振幅の和」と読めばこの章の形になる。両者の違いは、波動関数の記述では $\psi_1$ と $\psi_2$ がそれぞれ Schrödinger 方程式の解として与えられるのに対し、この章では各 $\psi_j$ も経路の和として作り直せる点にある。

光学の授業では、回折を Huygens–Fresnel の原理で計算する。開口の各点から2次波が出て、近軸では伝播の核

$$\propto\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} k(x-x')^2}{2\ell}\Bigr]$$

で検出面に届く（Fresnel 近似）。自由粒子の核 (3.1.16) の指数に $t=\ell/v$ と $k=mv/\hbar$ を入れると $m(x-x')^2/(2\hbar t)=k(x-x')^2/(2\ell)$ となり、同じ形である。自由粒子の経路積分は、Huygens の2次波を時間方向に何段も重ねたものと読むことができる。光の側からの扱いは、光学と量子エレクトロニクス 第4章（光学と量子エレクトロニクス 第4章、Fresnel の伝搬核と近軸波動方程式）と第6章（光学と量子エレクトロニクス 第6章、回折）にある。