この章のまとめ

(1) 自由粒子の伝播関数は内部の状態に作用しないので、$| \chi_\pm \rangle$ はそのまま残り、位置の部分だけに式 (3.1.10) を当てる。時刻 $t$ の状態は

$$\mathcal N_\gamma\Bigl[\int\mathrm{d} x'\,K_0(x,t;x',0)\,g(x'-\tfrac d2)\Bigr]| \chi_+ \rangle +\mathcal N_\gamma\Bigl[\int\mathrm{d} x'\,K_0(x,t;x',0)\,g(x'+\tfrac d2)\Bigr]| \chi_- \rangle$$

である。$K_0$ は $x-x'$ だけの関数なので、積分変数を $x'\mp d/2$ だけずらすことができる。すると式 (3.1.19) の $x$ が $x\mp d/2$ に置き換わり、$\psi_\pm(x,t)=\psi_g(x\mp\frac d2,t)$ を得る。

(2) $\gamma=1$ では $| \chi_+ \rangle =| \chi_- \rangle$ で、内部の状態は共通の因子になる。位置の振幅は $\mathcal N(\psi_++\psi_-)$ で、3.1.5節の計算がそのまま当てはまり、式 (3.1.22) を得る。$t\gg t_*$ では $\sigma(t)^2\approx\sigma_0^2t^2/t_*^2$ なので、式 (3.1.23) は

$$k_{\mathrm f}\approx\frac{dt}{2\sigma_0^2(t^2/t_*^2)t_*}=\frac{d\,t_*}{2\sigma_0^2t}=\frac{md}{\hbar t}$$

となり、間隔は $2\pi\hbar t/(md)$ に近づく。

(3) 内部の状態を問わない確率密度は、内部の正規直交基底について確率を足したもの、すなわち内部の自由度について部分トレースをとったものである。状態を $| \Psi \rangle =\mathcal N_\gamma(\psi_+| \chi_+ \rangle +\psi_-| \chi_- \rangle )$ と書くと、$\langle \chi_\pm | \chi_\pm \rangle =1$ と $\langle \chi_- | \chi_+ \rangle =\gamma$ から

$$P_\gamma(x,t)=\mathcal N_\gamma^2\Bigl[\lvert \psi_+\rvert ^2+\lvert \psi_-\rvert ^2+2\gamma\,\operatorname{Re}(\psi_+\psi_-^*)\Bigr]$$

となる。干渉項が $\gamma$ 倍になる以外は (2) と同じである。全確率は時間によらないので $t=0$ で計算でき、$\int P_\gamma\,\mathrm{d} x=\mathcal N_\gamma^2\bigl(2+2\gamma\,\mathrm{e}^{-d^2/(8\sigma_0^2)}\bigr)=1$ から $\mathcal N_\gamma^2=1/[2(1+\gamma\,\mathrm{e}^{-d^2/(8\sigma_0^2)})]$ である。

可視度は、$x$ のまわりの1周期で包絡線が一定とみなし、$\cos(k_{\mathrm f}x)=\pm1$ の値の比から求める。式 (3.1.22) の形で、直接の項の和と干渉項の振幅はそれぞれ

$$\mathrm{e}^{-(x-d/2)^2/(2\sigma^2)}+\mathrm{e}^{-(x+d/2)^2/(2\sigma^2)}=2\,\mathrm{e}^{-(x^2+d^2/4)/(2\sigma^2)}\cosh\frac{xd}{2\sigma^2},\qquad 2\gamma\,\mathrm{e}^{-(x^2+d^2/4)/(2\sigma^2)}$$

である。比をとると共通の因子が消え、$\mathcal V(x)=\gamma/\cosh(xd/(2\sigma^2))$ を得る。中央では $\mathcal V(0)=\gamma$ で、印の重なり $\gamma$ がそのまま可視度になる。中央から離れると、片方のスリットに近い側の波束が強くなって $P_1\ne P_2$ となるので、式 (3.1.4) のとおり可視度が下がる。

(4) $t=\ell/v=1\,\mathrm{ms}$ である。$t_*=2\times6.647\times10^{-27}\times10^{-12}/(1.055\times10^{-34})\,\mathrm s=1.26\times10^{-4}\,\mathrm s$ で、$t/t_*=7.93$ である。幅は $\sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+7.93^2}=7.99\,\mu\mathrm m$ になる。縞の間隔は、遠方の式で

$$\frac{2\pi\hbar t}{md}=\frac{6.626\times10^{-34}\times10^{-3}}{6.647\times10^{-27}\times2\times10^{-5}}\,\mathrm m=4.98\,\mu\mathrm m$$

であり、厳密には $1+(t_*/t)^2=1.016$ 倍の $5.06\,\mu\mathrm m$ である。中性子の例題より $t/t_*$ が小さいので、遠方の近似との差が $1.6\,\%$ まで開く。$\gamma=0.5$ の可視度は、中央で $0.5$、$x=\sigma(t)$ で $0.5/\cosh(d/(2\sigma(t)))=0.5/\cosh(1.25)=0.27$ である。この配置では $\sigma(t)$ が $d$ の $0.4$ 倍しかないので、中央から離れると可視度は速く下がる。

(5) $t_*=2\times10^{-21}\times10^{-12}/(1.055\times10^{-34})\,\mathrm s=19\,\mathrm s$ で、飛行時間 $1\,\mathrm{ms}$ よりはるかに長い。式 (3.1.20) から $\sigma(t)/\sigma_0-1=1.4\times10^{-9}$ で、波束は広がらない。干渉項の大きさは $\mathrm{e}^{-(x^2+d^2/4)/(2\sigma^2)}$ で、波束が重なる中央 $x=0$ でも $\mathrm{e}^{-d^2/(8\sigma_0^2)}=\mathrm{e}^{-50}=1.9\times10^{-22}$ である。検出面にはスリットの像が2つ並ぶだけで、分布は古典の $P_1+P_2$ になる（遠方の式を形式的に当てはめた間隔 $3.3\times10^{-11}\,\mathrm m$ は、$t\ll t_*$ なので意味を持たない）。

位相の議論で言い直すと、位相差 $\pi$ の回り道の大きさは $\sqrt{\pi\hbar t/(2m)}=1.3\times10^{-8}\,\mathrm m$ で、スリットの幅 $\sigma_0$ の約 $1/78$ である。スリット $+d/2$ を出た粒子が中央 $x=0$ に届くには、まっすぐ進む経路から $d/2=10\,\mu\mathrm m$ 横にずれた経路が要る。その大きさは位相差 $\pi$ の回り道の約800倍なので、そうした経路は隣り合う経路と打ち消し合い、和に残らない。残るのは各スリットからまっすぐ進む古典の経路の近くだけで、この打ち消しが式の上では干渉項の因子 $\mathrm{e}^{-50}$ として現れる。