時間を区切り、完全系を挟む

量子力学の様々な構成方法　第3部 第2章 §3.2.1　★★★ 伝播関数を短い時間の振幅の積に分ける。ここまでは近似を1つも使わない

第3部第1章（第3部第1章）は、二重スリットの思考実験から出発し、各経路に振幅 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ を割り当てて足すという Feynman の要請を公理に置いた。そこでは、時間を $N$ 個に区切った折れ線の和

$$\begin{split} K(x_f,t;x_i,0)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}&\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\\ &\times\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(x_k)\Bigr]\Bigr\}, \qquad \epsilon=\frac tN \end{split}\tag{3.2.1}$$

を伝播関数の定義とし、前因子とポテンシャルを区間のどこで評価するかの問題は先送りにした。

この章は、第3部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち「基準との同値」の前半を受け持つ。出発点に置くのは第1部第2章（第1部第2章）の公理 Q1〜Q6 で、とくに Q5（時間発展はユニタリ $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$）と、位置と運動量の固有状態の完全性である。そこから、式 (3.2.1) が $\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | x_i \rangle$ に等しいことを示す。必要な道具は3つしかない。時間発展を短い時間の積に分けること、そのあいだに完全系を挟むこと、そして運動エネルギーとポテンシャルが可換でないことの誤差を見積もる Trotter の積公式である。

導出の途中で、基準の側の「演算子の順序」が経路積分の側の「区間のどこで関数を評価するか」に対応することがわかる。ポテンシャル $V(x)$ だけなら評価点は結果に残らないが、速度に比例する項（ベクトルポテンシャル）があると評価点で答えが変わり、正しいのは中点だけである。その理由は、経路積分に寄与する経路の1区間の変位が $\epsilon$ でなく $\sqrt\epsilon$ の大きさを持つことにある。この事実は第3部第5章で逆向きの同値を示すときにも使う。

この章では1次元の位置を $x$、経過時間を $t$、区間の幅を $\epsilon=t/N$ と書き、運動エネルギーの演算子を $\hat H_0=\hat p^2/(2m)$ とする（運動エネルギーに $T$ を使わないのは、時間の長さと混ざらないようにするためである）。

伝播関数は時間発展の演算子の位置表示

基準の公理 Q5 により、時間によらないハミルトニアン $\hat H$ のもとで状態は $| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \psi(0) \rangle$ と発展する。位置の固有状態 $| x \rangle$（$\langle x | x' \rangle =\delta(x-x')$、$\int\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |=\hat 1$）で両辺の成分をとると

$$\psi(x_f,t)=\int\mathrm{d} x_i\,K(x_f,t;x_i,0)\,\psi(x_i,0),\qquad K(x_f,t;x_i,0)\coloneqq\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | x_i \rangle\tag{3.2.2}$$

である。左の式の積分は、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と $| \psi(0) \rangle$ のあいだに完全系 $\int\mathrm{d} x_i\,| x_i \rangle \langle x_i |$ を1回挟んだものにすぎない。したがって、この章で示すべきことは「右の式の行列要素が式 (3.2.1) に等しい」の1点に尽きる。

時間の分割

指数関数の性質から、$\epsilon=t/N$ として

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar}\bigr)^N\tag{3.2.3}$$

が成り立つ。$\hat H$ は自分自身と可換なので、これは厳密な等式である。$N$ 個の因子のあいだの $N-1$ か所に完全系を挟むと

$$K(x_f,t;x_i,0)=\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\prod_{k=0}^{N-1}\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar} | x_k \rangle ,\qquad x_0=x_i,\ x_N=x_f\tag{3.2.4}$$

となる。中間の位置 $x_1,\dots,x_{N-1}$ の組を1つ選ぶことは、時刻 $t_k=k\epsilon$ に粒子がいる場所を1つずつ決めること、すなわち時空の折れ線を1本選ぶことに当たる（図 3.2.1）。式 (3.2.4) は「すべての折れ線について、短い区間の振幅の積を足す」という形をしており、第3部第1章が思考実験で導いた合成則と同じ構造を持つ。違いは、ここでは各区間の振幅 $\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar} | x_k \rangle$ が基準から決まっていて、要請として置く必要がない点である。

どの完全系を挟んでもよい

式 (3.2.4) で位置の完全系を選んだのは、最後に作用 $\int(\frac m2\dot x^2-V)\mathrm{d} t$ を出したいからである。完全系であれば何を挟んでも式 (3.2.3) から同じ形の「経路の和」が得られ、挟んだ基底によって「経路」の意味が変わる。離散の基底を挟めば経路は状態の列になり、運動量の固有状態も挟めば3.2.4節の位相空間の経路積分になる。コヒーレント状態を挟んだものは第6部第6章（第6部第6章）の多体系の経路積分である。どの基底を挟んでも、極限 $N\to\infty$ をとる前の式 (3.2.4) は厳密な恒等式である。