位相空間の経路積分

量子力学の様々な構成方法　第3部 第2章 §3.2.4　★★ 運動量の積分を最後まで残すと、指数は $\int(p\dot x-H)\mathrm{d} t$。$p$ を積分すると Legendre 変換の逆で Lagrangian に戻る

運動量の積分を残した形

3.2.3節では運動量の積分 (3.2.10) を各区間ですぐに実行した。これを実行せずに残すと、式 (3.2.4) は

$$K(x_f,t;x_i,0)=\lim_{N\to\infty}\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} x_k\prod_{k=0}^{N-1}\frac{\mathrm{d} p_k}{2\pi\hbar}\; \exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_{k=0}^{N-1}\bigl[p_k(x_{k+1}-x_k)-\epsilon H(p_k,x_k)\bigr]\Bigr\}\tag{3.2.13}$$

となる（$H(p,x)=p^2/(2m)+V(x)$）。指数の和は $\epsilon\to0$ で $\int_0^t(p\dot x-H)\mathrm{d} t$、すなわち相空間の作用の離散版で、これを位相空間の経路積分と呼ぶ。位置の積分が $N-1$ 個、運動量の積分が $N$ 個で数が合わないのは、位置は両端が固定され、運動量は区間ごとに1つずつ自由に動くからである。解析力学で相空間の作用を変分するとき、$q$ の端だけを固定し $p$ の端を固定しないこと（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第8章）と同じ非対称が、ここに現れている。

式 (3.2.13) は、$H(p,x)$ が $p$ の2次式でなくても書けるので、位置の経路積分 (3.2.12) より一般の形である。ただし、それが $\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar} | x_k \rangle$ に等しいためには、関数 $H(p,x)$ と演算子 $\hat H$ の対応（演算子の順序）を決めなければならない。上の形は「$\hat p$ の関数を左に、$\hat x$ の関数を右に置いた順序」に対応する。この点は3.2.5節で詳しく扱う。

運動量を積分すると Lagrangian に戻る

$H=p^2/(2m)+V$ では指数は $p_k$ の2次式なので、各 $p_k$ の積分は Gauss 積分で厳密に実行でき、3.2.3節の式 (3.2.11) に戻る。このとき指数の $p_k$ についての停留点は

$$\frac{\partial }{\partial p_k}\Bigl[p_k\Delta x_k-\frac{\epsilon p_k^2}{2m}\Bigr]=0\quad\Longrightarrow\quad p_k^*=m\frac{\Delta x_k}{\epsilon},\qquad \Delta x_k=x_{k+1}-x_k\tag{3.2.14}$$

で、停留値は $\epsilon\cdot\frac m2(\Delta x_k/\epsilon)^2$ である。$p\dot x-H$ を $p$ について停留させると $L(x,\dot x)$ になるという Legendre 変換の逆の関係が、区間ごとに成り立っている。2次式の Gauss 積分は停留値の指数関数と定数（ここでは $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}$）の積に厳密に等しいので、$H$ が $p$ の2次式なら位相空間の形と位置の形は同じものである。この Legendre 変換の見方は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章）が詳しく扱っている。