短い時間の振幅と Lagrangian の形

量子力学の様々な構成方法　第3部 第2章 §3.2.3　★★★ 1区間の振幅を Gauss 積分で計算し、前因子 $(m/2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)^{1/2}$ と作用の1区間分を出す

1区間の振幅

Trotter の積公式により、式 (3.2.4) の各因子を $\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar} | x_k \rangle$ に置き換えてよい（極限 $N\to\infty$ で同じ値に収束する）。右の因子は位置の固有状態にそのまま作用し、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar}| x_k \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} V(x_k)\epsilon/\hbar}| x_k \rangle$ である。左の因子は、運動量の完全系 $\int\mathrm{d} p\,| p \rangle \langle p |=\hat 1$（$\langle x | p \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$）を挟んで計算する。

$$\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar} | x_k \rangle =\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{2m\hbar}p^2+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p\,(x_{k+1}-x_k)\Bigr].\tag{3.2.10}$$

この積分は Gauss 積分 $\int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-\alpha p^2+\beta p}=\sqrt{\pi/\alpha}\,\mathrm{e}^{\beta^2/(4\alpha)}$（$\operatorname{Re}\alpha>0$）の $\alpha=\mathrm{i}\epsilon/(2m\hbar)$ の場合に当たる。このとき $\operatorname{Re}\alpha=0$ で被積分関数の絶対値は減衰せず、積分は普通の意味では収束しない。そこで $\epsilon$ をわずかに負の虚部を持つ $\epsilon(1-\mathrm{i}\delta)$（$\delta>0$）に置き換えて計算し、最後に $\delta\to0$ とする。これは時間発展の演算子を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon(1-\mathrm{i}\delta)/\hbar}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-\hat H\epsilon\delta/\hbar}$ とすることで、下に有界な $\hat H$ では高いエネルギーの成分をわずかに減衰させるだけなので、$\delta\to0$ で元の値に戻る。平方根は $\operatorname{Re}\alpha>0$ の側から連続に延ばした主値をとり、$1/\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ である。結果は

$$\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar} | x_k \rangle =\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\;\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(x_k)\Bigr]\Bigr\}\tag{3.2.11}$$

である。指数の中の括弧は、区間 $[t_k,t_{k+1}]$ を等速で進む直線の経路の Lagrangian $L=\frac m2\dot x^2-V$ を、ポテンシャルだけ左端で評価したものである。

積をとる

式 (3.2.11) を $N$ 個掛け、$N-1$ 個の中間の位置で積分すると、指数の和は折れ線の作用 $S_N$ になり、前因子は $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{N/2}$ になる。したがって

$$\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | x_i \rangle =\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N(x_0,\dots,x_N)/\hbar} \eqqcolon\int_{x(0)=x_i}^{x(t)=x_f}\mathcal Dx\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}\tag{3.2.12}$$

を得る。これが式 (3.2.1) で、第3部第1章が要請として置いた形が基準から導かれた。第3部第1章で「時間 0 で何も動かない」条件から選んだ前因子 $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{1/2}$ は、ここでは運動量の Gauss 積分の値として決まり、選ぶ自由は残っていない。また、第3部第1章がポテンシャルを区間の左端 $x_k$ で評価したことは、Trotter の分割で $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar}$ を右（先に作用する側）に置いたことに対応する。分割の順序を逆にすれば右端 $x_{k+1}$ で評価する式になる。どちらも同じ極限に収束することは Trotter の積公式が保証する。

$d$ 次元では運動量の Gauss 積分が $d$ 個の積になるので、1区間の前因子は $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{d/2}$ になる。前因子の次元は（長さ）$^{-d}$ で、$\int\mathrm{d}^dx_k$ の次元（長さ）$^{d}$ と打ち消し合い、最後に残る1つの因子が $K$ の次元（長さ）$^{-d}$ を与える。$K$ は位置の確率振幅の密度なので、これで正しい。