評価点と演算子の順序

量子力学の様々な構成方法　第3部 第2章 §3.2.5　★★★ 演算子の順序は区間のどこで評価するかに対応する。Weyl の順序は中点。速度に比例する項があると評価点で答えが変わる

3つの順序と3つの評価点

$\hat x$ と $\hat p$ の両方を含む演算子の位置表示の行列要素を、運動量の完全系を挟んで計算する。$f,g$ を1変数の関数として

$$\begin{align*}\langle x' | g(\hat p)f(\hat x) | x \rangle &=\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(x'-x)/\hbar}\,g(p)f(x)\qquad(\hat x\text{ を右＝前の点 }x),\tag{3.2.15}\\\langle x' | f(\hat x)g(\hat p) | x \rangle &=\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(x'-x)/\hbar}\,f(x')g(p)\qquad(\hat x\text{ を左＝後の点 }x')\tag{3.2.16}\end{align*}$$

である。区間の時間の向きでは $x$ が前の時刻、$x'$ が後の時刻の位置なので、$\hat x$ を右に寄せた順序は「前の点」、左に寄せた順序は「後の点」での評価に対応する。両者の中間に当たるのが Weyl の順序で、第5部で導入する Weyl 記号 $A_{\mathrm W}(x,p)=\int\mathrm{d} y\,\langle x-y/2 | \hat A | x+y/2 \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i} py/\hbar}$ を Fourier 逆変換すると

$$\langle x' | \hat A | x \rangle =\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(x'-x)/\hbar}\,A_{\mathrm W}\Bigl(\frac{x+x'}{2},p\Bigr)\tag{3.2.17}$$

となる。これは近似でなく、どんな $\hat A$ についても成り立つ恒等式である。すなわち、Weyl 記号で書いた古典の関数を中点で評価すれば、行列要素がそのまま得られる。例として $(\hat pf(\hat x)+f(\hat x)\hat p)/2$ の Weyl 記号は $pf(x)$ で、式 (3.2.15) と式 (3.2.16) の平均 $p\,(f(x)+f(x'))/2$ は中点の値 $pf((x+x')/2)$ と $\mathcal{O}((x'-x)^2)$ しか違わない。Weyl の対応と密度行列・Wigner 関数との関係は第5部第2章（第5部第2章）で扱う。

ポテンシャルの評価点は残らない

$V(x)$ を前の点 $x_k$ で評価するか、中点や後の点で評価するかの違いは、1区間の指数で $\frac{\epsilon}{\hbar}\bigl(V(x_k+\lambda\eta)-V(x_k)\bigr)\approx\frac{\epsilon}{\hbar}\lambda V'(x_k)\eta$ である（$0\le\lambda\le1$ が評価点）。例題 3.2.3 で見たとおり $\eta$ は $\sqrt\epsilon$ の大きさで、しかも $\langle \eta \rangle =0$ なので、この差の平均は $\epsilon\cdot\langle \eta^2 \rangle \sim\epsilon^2$ の大きさになる。$N=t/\epsilon$ 区間で足しても $\mathcal{O}(\epsilon)$ で、$\epsilon\to0$ で消える。したがってポテンシャルの評価点は極限に残らない。これは Trotter の積公式で分割の順序を変えても極限が同じであることの、経路積分の側からの見方である。

速度に比例する項では評価点が残る

荷電粒子のように、ハミルトニアンが $\hat H=(\hat p-a(\hat x))^2/(2m)+V(\hat x)$ の形をとる場合を考える（1次元の電荷 $q$ の粒子では $a=qA_x$）。Lagrangian は $L=\frac m2\dot x^2+a(x)\dot x-V(x)$ で、離散化した作用の1区間は $\frac{m}{2\epsilon}\eta^2+a(\bar x)\eta-\epsilon V$ と書ける。ここで $\bar x=x_k+\lambda\eta$ が $a$ の評価点である。$a(\bar x)\eta$ の評価点による違いは $\lambda a'(x_k)\eta^2$ で、ポテンシャルの場合と違って $\epsilon$ が掛かっていない。$\eta^2\sim\mathrm{i}\hbar\epsilon/m$ なので、この差は1区間あたり $\mathcal{O}(\epsilon)$ になり、$N$ 区間で足すと有限の量が残る。

この残りを求めるには、1区間の核を使って $\psi(x,t+\epsilon)=\int\mathrm{d}\eta\,K_\epsilon\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}[\,\cdots]/\hbar}\psi(x+\eta,t)$ を $\eta$ について展開し、例題 3.2.3 の $\langle \eta^n \rangle$ で平均すればよい（この展開の手順は第3部第5章の主題である）。$\epsilon$ の1次の係数を読むと

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\Bigl[\frac{(\hat p-a(\hat x))^2}{2m}+V(\hat x)+(1-2\lambda)\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}a'(\hat x)\Bigr]\psi\tag{3.2.18}$$

となる（検算は verify_ch3-02.py で行った）。余分の項が消えるのは中点 $\lambda=1/2$ のときだけである。

基準の側から見ると、この結果は演算子の順序の問題そのものである。$\left[\hat p,\,a(\hat x)\right]=-\mathrm{i}\hbar a'(\hat x)$ を使うと、$\hat p$ を左に寄せた形は

$$\frac{\hat p^2-2\hat pa+a^2}{2m}=\frac{\hat p^2-(\hat pa+a\hat p)+a^2}{2m}+\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}a'\tag{3.2.19}$$

で、右辺の第1項が Weyl の順序（対称化）の $(\hat p-a)^2/(2m)$ である。左端での評価（$\lambda=0$）は $\hat p$ を左に寄せた順序に当たるので、式 (3.2.18) の余分の項 $\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}a'$ と一致する。対称化した $(\hat p-a)^2$ はエルミートだが、余分の項 $\mathrm{i}\hbar a'/(2m)$ は反エルミートなので、$\lambda\ne1/2$ の離散化は確率を保存しない時間発展を与える（次の例題）。