橋：基準から経路積分へ

命題 3.2.2（基準から経路積分へ ★★★）

$\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ が $\mathcal{D}(\hat H_0)\cap\mathcal{D}(\hat V)$ 上で自己共役であるとする。このとき、基準の時間発展 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ を任意の状態 $\psi$ に当てたものは、時間分割した経路積分

$$\psi_N(x_f,t)=\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\mathrm{d} x_0\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N(x_0,\dots,x_N)/\hbar}\,\psi(x_0)$$

の $N\to\infty$ の極限に（$L^2$ のノルムの意味で）等しい。式 (3.2.12) はこれを積分核の形で略記したものである。

例題 3.2.6　輪の上の自由粒子：巻き数の和とスペクトルの和 ★★★

オリジナル周の長さ $L$ の輪の上を動く質量 $m$ の自由粒子を考える。位置は $x\in[0,L)$ で、$x$ と $x+L$ は同じ点である。

1. (1) 運動量の固有状態 $\langle x | n \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_nx}/\sqrt L$（$k_n=2\pi n/L$、$n\in\mathbb{Z}$）を使い、伝播関数を式 (3.2.20) の形で書け。
2. (2) 時間を分割して輪の上の位置の完全系 $\int_0^L\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |$ を挟み、伝播関数が $\sum_{w\in\mathbb{Z}}K_0(x_f-x_i+wL,t)$ になることを示せ。ここで $K_0(\Delta,t)=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\Delta^2/(2\hbar t)}$ は直線上の自由粒子の伝播関数である。
3. (3) Poisson の和の公式 $\sum_{w}F(\Delta+wL)=\frac1L\sum_n\tilde F(k_n)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_n\Delta}$（$\tilde F(k)=\int\mathrm{d} y\,F(y)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ky}$）を使い、(1) と (2) が等しいことを示せ。