この章のまとめ

(1) $a$ は定数なので、$\hat p^2/(2m)$ と $(-a\hat p+a^2/2)/m$ はどちらも $\hat p$ だけの関数で、互いに可換である。BCH の公式 (3.2.6) の交換子が 0 なので、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\epsilon/\hbar}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat p^2\epsilon/(2m\hbar)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(-a\hat p+a^2/2)\epsilon/(m\hbar)}$ は厳密で、$N$ によらず分割の誤差はない。評価点については、式 (3.2.18) の余分の項が $a'=0$ により消える。$a(\bar x)\eta=a\eta$ はどこで評価しても同じ値である。

(2) 輪の上でも1区間の行列要素は運動量の完全系 $\sum_n| n \rangle \langle n |$ で計算できる。直線の場合の計算（3.2.3節）を被積分関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\Delta/\hbar-\mathrm{i}(p-a)^2\epsilon/(2m\hbar)}$ に対して行うと、$p\to p+a$ と積分変数をずらして $\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\Delta/\hbar}K_0(\Delta,\epsilon)$ が直線上の1区間の核になる。指数の $a\Delta$ は Lagrangian の $a\dot x$ の1区間分 $a\,\eta$ そのものである。例題 3.2.6 と同じく輪を直線に開くと、各区間の $a\,\eta_k$ の和は直線上の全変位 $\Delta+wL$ に $a$ を掛けたものになり、残りは自由粒子の経路積分なので

$$K=\sum_{w\in\mathbb{Z}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} a(\Delta+wL)/\hbar}K_0(\Delta+wL,t)$$

を得る。スペクトルの和との一致は、Poisson の和の公式で $F(y)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ay/\hbar}K_0(y,t)$ とおけばよい。$\tilde F(k)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hbar(k-a/\hbar)^2t/(2m)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\hbar k-a)^2t/(2m\hbar)}$ なので$\frac1L\sum_n\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_n\Delta}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\hbar k_n-a)^2t/(2m\hbar)}$ となる。これは $\hat H$ の固有値 $E_n=(\hbar k_n-a)^2/(2m)$ によるスペクトルの和 (3.2.20) である。

(3) 巻き数 $w$ の経路は、$w=0$ の経路に比べて位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} awL/\hbar}$ を余分に受け取る。$aL/\hbar=q\Phi/\hbar=2\pi q\Phi/h=2\pi\varphi$ なので、位相は $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ である。輪の上で磁場は 0 なので古典の運動は磁束を感じないが、量子の振幅は巻き数ごとに磁束で決まる位相を受け取る（Aharonov–Bohm の位相。第3部第7章で扱う）。準位は

$$E_n=\frac{(\hbar k_n-a)^2}{2m}=\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{2\pi\hbar}{L}\Bigr)^2(n-\varphi)^2=E_{\mathrm u}(n-\varphi)^2,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

である。$\varphi\to\varphi+1$ は $n\to n+1$ の付け替えで同じ準位の集合を与えるので、スペクトルは $\varphi$ について周期1を持つ。巻き数の和の側でも $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ が $\varphi$ の周期1の関数であることに対応する。$\varphi=1/2$ では $n=0$ と $n=1$ がともに $(n-\frac12)^2=\frac14$ を与え、これが最小なので基底状態は2重に縮退する。

(4) $E_{\mathrm u}=\frac{(h/L)^2}{2m}=\frac{(6.626\times10^{-34}/10^{-6})^2}{2\times9.109\times10^{-31}}\,\mathrm J=2.41\times10^{-25}\,\mathrm J$ で、$1.50\,\mu\mathrm{eV}$、温度に直して $17.5\,\mathrm{mK}$ である。$\varphi=1/2$ の基底状態は $E_{\mathrm u}/4=0.376\,\mu\mathrm{eV}$ になる。$\lvert \varphi\rvert =1/2$ に要る磁束は $\Phi=h/(2e)$ で、$h/e=4.14\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}$ である。円の面積は $L^2/(4\pi)=7.96\times10^{-14}\,\mathrm m^2$ なので、一様な磁場は $B=2.07\times10^{-15}/(7.96\times10^{-14})\,\mathrm T=0.026\,\mathrm T$ である。準位の間隔が $17.5\,\mathrm{mK}$ の桁なので、この磁束による準位の移動を見るには希釈冷凍機の温度が要る。

(5) $a(x)$ の輪に沿った平均を $\bar a=\frac1L\oint a\,\mathrm{d} x$ とし、$\chi'(x)=a(x)-\bar a$ で $\chi$ を定めると、$\oint\chi'\mathrm{d} x=0$ なので $\chi$ は輪の上の1価の関数である。中点で離散化すると、例題 3.2.5 の (2) と同じく $\sum_k\chi'(\bar x_k)\eta_k$ は $\chi(x_f)-\chi(x_i)$ に収束する（輪を開いた直線上でも $\chi$ は周期 $L$ なので、巻き数によらない）。したがって各経路の位相は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}[\chi(x_f)-\chi(x_i)]/\hbar}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar a(\Delta+wL)/\hbar}$ で、巻き数ごとの違いは $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar awL/\hbar}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} w\oint a\,\mathrm{d} x/\hbar}$ だけに現れる。端の因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi/\hbar}$ はゲージ変換で、確率に影響しない。左端で離散化すると、式 (3.2.18) により $\hat H$ に反エルミートの項 $\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}a'(\hat x)$ が加わり、例題 3.2.5 のとおりノルムが $\frac1m\langle a' \rangle$ の割合で変わる。$a'$ の輪に沿った積分は 0 なので一様に広がった状態では打ち消し合うが、輪の一部に寄った状態では確率が保存せず、ゲージを変えるだけで答えが変わる。正しい離散化は中点である。