古典の経路と揺らぎに分ける

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.1　★★★ 作用が経路の2次式なら $K=F(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ と厳密に分かれ、端の位置は古典の作用だけに入る

この章は、第3部（経路積分）の部の型のうち「共通例題を解く」を受け持つ。解くのは巻の共通例題のうち、③自由粒子の伝播（伝播関数と波束の広がり）と、①調和振動子（Mehler 核とスペクトル）の2つである。

第3部第1章では、自由粒子の伝播関数 $K_0$ を、時間を区切った1区間の振幅を1つずつ合成して求めた（第3部第1章）。その方法は自由粒子では最後まで進むが、どこに古典力学が現れているのかが見えにくく、調和振動子へそのまま広げるのも手間がかかる。この章では、同じ和を次の順に組み立て直す。

1. 経路 $x(s)$ を古典の経路 $x_{\mathrm{cl}}(s)$ とそこからのずれ $y(s)$ に分ける。作用が経路の2次式なら、伝播関数は「古典の作用の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$」と「端の位置によらない揺らぎの因子 $F(t)$」の積に厳密に分かれる（3.3.1節）。
2. 自由粒子の揺らぎの因子を、全経路の多重積分を1度に行って求める。共通例題③の伝播関数の正式な解である（3.3.2節）。
3. 古典の作用の微分が古典の運動量であることを使い、波束の広がりを古典の経路の束の広がりと量子の揺らぎの和として読む（3.3.3節）。
4. 調和振動子の古典の経路と作用を求め（3.3.4節）、揺らぎの因子を Gel'fand–Yaglom の方法で出して Mehler 核を得る（3.3.5節）。

最後から2番目の3.3.6節では、この章の結果を基準（第1部の状態ベクトルと演算子）と行列力学（第2部）の言葉に移す。揺らぎの因子が Heisenberg 描像の位置演算子の交換子 $\left[\hat x_{\mathrm H}(t),\,\hat x\right]$ で書けること、伝播関数の跡からスペクトル $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ が出ることを示す。

記号は第3部第1章に合わせる。位置は $x$、経路の途中の時刻は $s$（$0\le s\le t$）、始点と終点は $x(0)=x_i$、$x(t)=x_f$ とし、伝播関数を $K(x_f,t;x_i,0)$ と書く。時間を区切った経路積分（第3部第1章の式）は

$$\begin{aligned} K(x_f,t;x_i,0)&=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar},\\ S_N&=\sum_{k=0}^{N-1}\epsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}\Bigr)^2-V(x_k)\Bigr] \end{aligned}\tag{3.3.1}$$

で、$\epsilon=t/N$、$x_0=x_i$、$x_N=x_f$ である。この式を基準から導くことは第3部第2章（第3部第2章）の仕事で、この章では式 (3.3.1) を出発点として使う。

2次の作用

この章で扱う系は、Lagrangian が速度と位置について高々2次の

$$L(x,\dot x)=\frac m2\dot x^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2+f\,x\tag{3.3.2}$$

である。$\omega=0$、$f=0$ が自由粒子、$f=0$ が調和振動子、$f\ne0$ は一定の力 $f$ を受ける調和振動子（総合問題）にあたる。

始点 $x_i$ と終点 $x_f$ を固定したとき、作用 $S[x]=\int_0^tL\,\mathrm{d} s$ を停留させる経路を古典の経路 $x_{\mathrm{cl}}(s)$ と呼ぶ。Euler–Lagrange 方程式は $m\ddot x_{\mathrm{cl}}=-m\omega^2x_{\mathrm{cl}}+f$ である。任意の経路をこれとのずれ $y(s)$ で

$$x(s)=x_{\mathrm{cl}}(s)+y(s),\qquad y(0)=y(t)=0\tag{3.3.3}$$

と書く。端を固定しているので、ずれは両端で $0$ である。

交差項が消える

式 (3.3.3) を作用に入れて $y$ の次数で整理すると、

$$S[x_{\mathrm{cl}}+y]=S[x_{\mathrm{cl}}]+\int_0^t\bigl(m\dot x_{\mathrm{cl}}\dot y-m\omega^2x_{\mathrm{cl}}y+f\,y\bigr)\mathrm{d} s +\int_0^t\Bigl(\frac m2\dot y^2-\frac{m\omega^2}{2}y^2\Bigr)\mathrm{d} s$$

となる。真ん中の1次の項は、第1項を部分積分すると

$$\bigl[m\dot x_{\mathrm{cl}}\,y\bigr]_0^t-\int_0^t\bigl(m\ddot x_{\mathrm{cl}}+m\omega^2x_{\mathrm{cl}}-f\bigr)y\,\mathrm{d} s=0$$

になる。境界項は $y(0)=y(t)=0$ で消え、積分は Euler–Lagrange 方程式で消える。したがって

$$S[x_{\mathrm{cl}}+y]=S_{\mathrm{cl}}(x_f,x_i;t)+S_2[y],\qquad S_2[y]=\int_0^t\Bigl(\frac m2\dot y^2-\frac{m\omega^2}{2}y^2\Bigr)\mathrm{d} s\tag{3.3.4}$$

が厳密に成り立つ。$S_{\mathrm{cl}}=S[x_{\mathrm{cl}}]$ は古典の経路の作用で、端の位置と時間の関数である。作用が2次式なので展開は2次で終わり、3次以上の項はない。また、一定の力 $f$ は1次の項にしか入らないので、揺らぎの作用 $S_2$ には現れない。

揺らぎの因子

時間を区切った形でも同じ分け方ができる。離散の古典の経路 $x_k^{\mathrm{cl}}$ は $S_N$ を停留させる点で、$x_k=x_k^{\mathrm{cl}}+y_k$（$y_0=y_N=0$）と書くと、$S_N$ が $x_k$ の2次式なので $S_N=S_N^{\mathrm{cl}}+S_N[y]$ と分かれる（交差項は停留の条件で消える。離散版は3.3.2節で具体的に確かめる）。積分変数を $x_k$ から $y_k$ へずらしても積分範囲は $(-\infty,\infty)$ のままなので、式 (3.3.1) は

$$K(x_f,t;x_i,0)=F(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}(x_f,x_i;t)/\hbar},\qquad F(t)=\int_{y(0)=0}^{y(t)=0}\mathcal Dy\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_2[y]/\hbar}\tag{3.3.5}$$

となる。$F(t)$ を揺らぎの因子と呼ぶ。$F(t)$ は始点と終点を両方 $0$ に固定した経路の和で、$x_i$・$x_f$・$f$ によらず、$m$・$\omega$・$t$ だけで決まる。

式 (3.3.5) は、この章の計算の骨組みである。伝播関数の位置への依存は古典力学（作用の停留値）だけで決まり、量子力学の計算として残るのは、端によらない1つの数 $F(t)$ を求めることだけになる。