橋：基準と行列力学の言葉で同じものを書く

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.6　★★★ 揺らぎの因子は Heisenberg 描像の交換子 $\left[\hat x_{\mathrm H}(t),\,\hat x\right]$ で決まり、伝播関数の跡からスペクトルと分配関数が出る

この章の結果は、計画の同値性の地図のうち「状態ベクトル ↔ 経路積分」の橋に乗っている。一般の証明は第3部第2章（基準から経路積分へ）と第3部第5章（経路積分から基準へ）が受け持つ。この節では、2次の Hamiltonian に限って、経路積分で出した $K=F\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ を基準と行列力学の言葉で出し直し、両向きを示す。

Heisenberg 描像から伝播関数を出す

基準の言葉では伝播関数は $K(x_f,t;x_i,0)=\langle x_f | \hat U(t) | x_i \rangle$、$\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ である（第3部第1章）。2次の $\hat H$ では Heisenberg 描像の演算子 $\hat A_{\mathrm H}(t)=\hat U^\dagger\hat A\hat U$ が古典の運動方程式と同じ線形の式に従うので、

$$\hat x_{\mathrm H}(t)=a\,\hat x+b\,\hat p,\qquad \hat p_{\mathrm H}(t)=c\,\hat x+d\,\hat p,\qquad ad-bc=1\tag{3.3.29}$$

と書ける。調和振動子では $a=d=\cos\omega t$、$b=\sin\omega t/(m\omega)$、$c=-m\omega\sin\omega t$、自由粒子では $a=d=1$、$b=t/m$、$c=0$ である（Heisenberg 方程式の導出は第2部第3章、第2部第3章）。$ad-bc=1$ は交換関係 $\left[\hat x_{\mathrm H},\,\hat p_{\mathrm H}\right]=\mathrm{i}\hbar$ が保たれることの言い換えである。

$\hat x\hat U=\hat U\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat U(a\hat x+b\hat p)$ の両辺を $\langle x_f |$ と $| x_i \rangle$ で挟む。左辺は $x_fK$ である。右辺の $\hat p$ は、位置の完全系を挟み $\langle x' | \hat p | x_i \rangle =-\mathrm{i}\hbar\,\partial_{x'}\delta(x'-x_i)=\mathrm{i}\hbar\,\partial_{x_i}\delta(x'-x_i)$ を使うと $\mathrm{i}\hbar\,\partial_{x_i}K$ になる。したがって

$$(x_f-a\,x_i)\,K=\mathrm{i}\hbar\,b\,\frac{\partial K}{\partial x_i}\tag{3.3.30}$$

である。同様に $\hat p\hat U=\hat U(c\hat x+d\hat p)$ を挟むと

$$-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial K}{\partial x_f}=\Bigl(c\,x_i+\mathrm{i}\hbar\,d\frac{\partial }{\partial x_i}\Bigr)K=\frac{d\,x_f-x_i}{b}\,K\tag{3.3.31}$$

を得る（2つ目の等号で式 (3.3.30) と $ad-bc=1$ を使った）。2つの1階の方程式を積分すると

$$K(x_f,t;x_i,0)=C(t)\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{2\hbar b}\bigl(d\,x_f^2-2x_fx_i+a\,x_i^2\bigr)\Bigr]\tag{3.3.32}$$

となる。調和振動子の $a,b,d$ を入れると、指数は式 (3.3.21) の $\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar$ に一致する。経路積分で「古典の経路の作用」として出てきたものが、行列力学では「Heisenberg 描像の位置と運動量が初めの演算子の線形結合になる」ことから出てくる。

残る $C(t)$ は2つの条件で決まる。1つ目はユニタリ性 $\int\mathrm{d} x_f\,K(x_f;x_i)K(x_f;x_i')^*=\delta(x_i-x_i')$ で、式 (3.3.32) を入れると$x_f$ の積分は $2\pi\hbar\lvert b\rvert \,\delta(x_i-x_i')$ になるので $\lvert C\rvert ^2=1/(2\pi\hbar\lvert b\rvert )$ である。2つ目は $t\to0$ で $K\to\delta(x_f-x_i)$ となることで、$b\to t/m>0$ のとき位相が自由粒子と同じ $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ に決まる。まとめると

$$C(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar\,b(t)}},\qquad b(t)=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat x_{\mathrm H}(t),\,\hat x\right]\tag{3.3.33}$$

である。2つ目の式は $\left[a\hat x+b\hat p,\,\hat x\right]=-\mathrm{i}\hbar b$ による。式 (3.3.27) と比べると

$$\phi(t)=m\,b(t)=\frac{\mathrm{i} m}{\hbar}\left[\hat x_{\mathrm H}(t),\,\hat x\right]=m\Bigl(-\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial x_f\,\partial x_i}\Bigr)^{-1}$$

となる。経路積分の揺らぎの行列式（Gel'fand–Yaglom の $\phi$）、古典の作用の交差微分、行列力学の異なる時刻の位置の交換子が、同じ1つの関数を表している。

逆向き（経路積分から行列力学へ）は、3.3.3節の計算を一般にしたものである。$K=F\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ から $-\mathrm{i}\hbar\partial_{x_f}K=(\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f)K$ と$\mathrm{i}\hbar\partial_{x_i}K=-(\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_i)K$ を作り、$\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f$ と $\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_i$ が端の位置の1次式であることを使って $x_f$ を $x_i$ と $\partial_{x_i}$ で表すと、式 (3.3.30) に戻る。それを $\psi_0$ に掛けて積分すれば、式 (3.3.14) と同じ手順で $\hat x_{\mathrm H}(t)=a\hat x+b\hat p$ が読み取れる。自由粒子では $a=1$、$b=t/m$ で、3.3.3節の $\hat x+\hat pt/m$ がその場合である。

跡からスペクトルを出す

基準の言葉では、離散スペクトル $\hat H| n \rangle =E_n| n \rangle$ を持つ系の伝播関数の跡は

$$\int\mathrm{d} x\,K(x,t;x,0)=\operatorname{Tr}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=\sum_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$$

である。Mehler 核 (3.3.28) で $x_f=x_i=x$ とおくと、指数は $\frac{\mathrm{i} m\omega}{\hbar\sin\omega t}(\cos\omega t-1)x^2=-\frac{\mathrm{i} m\omega}{\hbar}\tan\frac{\omega t}2\,x^2$ である。時間をわずかに $t-\mathrm{i}\eta$ とずらして Gauss 積分を行うと、$\sin\omega t\tan(\omega t/2)=2\sin^2(\omega t/2)$ を使って

$$\int\mathrm{d} x\,K(x,t;x,0)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\mathrm{i} m\omega\tan(\omega t/2)}} =\frac{1}{2\mathrm{i}\sin(\omega t/2)} =\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(n+\frac12)t}\tag{3.3.34}$$

となる。最後の等比級数は $\operatorname{Im} t<0$ で収束する。基準の式と項ごとに比べて

$$E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr)\qquad(n=0,1,2,\dots,\ \text{各準位は1重})\tag{3.3.35}$$

を得る。共通例題①のスペクトルが、演算子の代数（第2部第4章、第2部第4章）を使わず、古典の作用と揺らぎの行列式だけから出た。零点エネルギー $\hbar\omega/2$ は、跡の $1/\sin(\omega t/2)$ を展開したときの先頭の因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}$ として現れる。半角 $\omega t/2$ は、揺らぎの因子の $(\sin\omega t)^{-1/2}$ と、跡の Gauss 積分で出る $(\tan(\omega t/2))^{-1/2}$ を掛け合わせたときに出てくる。

同じ式で時間を虚数 $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ に置くと、$\sin(-\mathrm{i} x)=-\mathrm{i}\sinh x$ から

$$Z=\operatorname{Tr}\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)},\qquad \langle n \rangle =-\frac{1}{\hbar\omega}\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}-\frac12=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}$$

となり、共通例題①の熱平衡の正答と一致する。この置き換えがなぜ許されるか、虚数の時間の経路積分が何を数えているかは第3部第6章（第3部第6章）で扱う。

学部の授業での書き方との対応

学部の授業では、調和振動子の固有関数を Hermite 関数 $\psi_n(x)$ として先に求め、伝播関数はそのスペクトル展開

$$K(x_f,t;x_i,0)=\sum_{n=0}^{\infty}\psi_n(x_f)\psi_n(x_i)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(n+\frac12)t}$$

として書くことが多い。この和を閉じた形にした恒等式が Mehler の公式（F. G. Mehler (1866), J. Reine Angew. Math. 66, 161–176）で、その右辺が式 (3.3.28) である。基準から経路積分への向きはこの和を計算すること、経路積分から基準への向きは式 (3.3.34) のように跡をとってスペクトルを読むことに当たる。検算では、$\omega t=0.7-0.4\mathrm{i}$（収束させるため虚部を付けた）で和を80項までとり、式 (3.3.28) と $10^{-10}$ の精度で一致することを確かめた。

また、経路積分の半古典近似（停留位相）は一般に $K\approx\sqrt{(-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f\partial x_i)/(2\pi\mathrm{i}\hbar)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$になる（Van Vleck の公式）。式 (3.3.22)・(3.3.26) を比べると、2次の作用ではこれが近似でなく厳密な答えになっている。一般の作用でこの式がどこまで正しいかは第3部第4章で扱う。