調和振動子：古典の経路と作用

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.4　★★ 共通例題①の前半。古典の作用は境界項だけで書け、Mehler 核の指数がそのまま出る

ここからは $f=0$ の調和振動子 $L=\frac m2\dot x^2-\frac{m\omega^2}2x^2$ を扱う。式 (3.3.5) によれば、伝播関数を求めるには古典の作用 $S_{\mathrm{cl}}$ と揺らぎの因子 $F(t)$ を別々に求めればよい。この節は前者を受け持つ。

古典の経路

運動方程式 $\ddot x=-\omega^2x$ の解で $x(0)=x_i$、$x(t)=x_f$ を満たすものは、$\sin\omega(t-s)$ と $\sin\omega s$ がそれぞれ $s=t$ と $s=0$ で $0$ になることを使うと

$$x_{\mathrm{cl}}(s)=\frac{x_i\sin\omega(t-s)+x_f\sin\omega s}{\sin\omega t}\qquad(\sin\omega t\ne0)\tag{3.3.19}$$

と書ける。$\sin\omega t=0$、すなわち $t$ が半周期 $\pi/\omega$ の整数倍のときは、$x_i$ を出た経路はどの初速でも $\pm x_i$ に戻るので、$x_f\ne\pm x_i$ を結ぶ経路は存在せず、$x_f=\pm x_i$ なら無数にある。以下では $0<\omega t<\pi$ とする。

古典の作用は境界項

運動方程式を満たす経路では、作用を境界の値だけで書くことができる。$\int\dot x^2\,\mathrm{d} s$ を部分積分すると

$$\int_0^t\dot x^2\,\mathrm{d} s=\bigl[x\dot x\bigr]_0^t-\int_0^tx\ddot x\,\mathrm{d} s=\bigl[x\dot x\bigr]_0^t+\omega^2\int_0^tx^2\,\mathrm{d} s$$

なので、ポテンシャルの項が打ち消し合って

$$S_{\mathrm{cl}}=\frac m2\bigl[x_{\mathrm{cl}}\dot x_{\mathrm{cl}}\bigr]_0^t=\frac m2\bigl[x_f\dot x_{\mathrm{cl}}(t)-x_i\dot x_{\mathrm{cl}}(0)\bigr]\tag{3.3.20}$$

となる。式 (3.3.19) を微分すると

$$\dot x_{\mathrm{cl}}(t)=\frac{\omega(x_f\cos\omega t-x_i)}{\sin\omega t},\qquad \dot x_{\mathrm{cl}}(0)=\frac{\omega(x_f-x_i\cos\omega t)}{\sin\omega t}$$

で、これを式 (3.3.20) に入れると

$$S_{\mathrm{cl}}(x_f,x_i;t)=\frac{m\omega}{2\sin\omega t}\Bigl[(x_f^2+x_i^2)\cos\omega t-2x_fx_i\Bigr]\tag{3.3.21}$$

を得る。これが共通例題①の Mehler 核の指数（$\hbar$ で割る前）である。同じ式は、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第5章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第5章）で調和振動子の古典作用として、同 第4部第8章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章）で経路積分の指数として出ている。

古典の作用は端の位置の2次式で、交差項の係数が

$$-\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial x_f\,\partial x_i}=\frac{m\omega}{\sin\omega t}\tag{3.3.22}$$

である。この量は始点の運動量を変えたとき終点がどれだけ動くかの逆数 $(\partial x_f/\partial p_i)^{-1}$ に当たり、3.3.5節と3.3.6節でもう一度現れる。