波束の広がりを古典の経路で読む

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.3　★★★ 共通例題③の後半。古典の作用の勾配が運動量なので、位置は $\hat x+\hat pt/m$ のように動き、広がりは経路の束の広がりと量子の揺らぎの和になる

共通例題③の後半は、初めの位置の標準偏差 $\sigma_0$ の波束が $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/(2m\sigma_0))^2$ と広がることである。第3部第1章はこれをガウス型の波束の積分で直接出した（第3部第1章）。この節では結果を引き、式 (3.3.5) の分け方を使って一般の波束の広がりを古典の経路の言葉で読み直す。

古典の作用の勾配は運動量

例題 3.3.1(2) のとおり $\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f=m(x_f-x_i)/t$ は、$x_i$ を出て時間 $t$ で $x_f$ に着く古典の経路の運動量である。式 (3.3.11) は位置に $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ を通してしか依存しないので、

$$-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial K_0}{\partial x_f}=\frac{\partial S_{\mathrm{cl}}}{\partial x_f}K_0=\frac{m(x_f-x_i)}{t}K_0\tag{3.3.12}$$

が成り立つ。左辺は運動量演算子の位置表示の形をしている。これを並べ替えると

$$x_f\,K_0=x_i\,K_0+\frac tm\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial K_0}{\partial x_f}\Bigr)=x_i\,K_0+\frac tm\Bigl(\mathrm{i}\hbar\frac{\partial K_0}{\partial x_i}\Bigr)\tag{3.3.13}$$

となる。2つ目の等号は、$K_0$ が $x_f-x_i$ だけの関数なので $\partial_{x_f}K_0=-\partial_{x_i}K_0$ であることによる。

初めの波動関数 $\psi_0(x')$ から $\psi(x,t)=\int K_0(x,t;x',0)\psi_0(x')\,\mathrm{d} x'$ を作り、式 (3.3.13) の両辺に $\psi_0$ を掛けて $x'$ で積分する。右辺第2項は部分積分で微分を $\psi_0$ へ移すと

$$x\,\psi(x,t)=\int\mathrm{d} x'\,K_0(x,t;x',0)\Bigl[x'\psi_0(x')+\frac tm\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi_0}{\partial x'}\Bigr)\Bigr]\tag{3.3.14}$$

になる（境界項は $\psi_0$ が遠方で $0$ になるので消える）。言葉で言えば、時刻 $t$ に位置 $x$ を掛けることは、初めの波動関数に「位置＋（運動量）$\times t/m$」を作用させてから伝播させることと同じである。同じ計算で $-\mathrm{i}\hbar\partial_x\psi(x,t)=\int K_0\,(-\mathrm{i}\hbar\partial_{x'}\psi_0)\,\mathrm{d} x'$ も得られるので、運動量の分布は時間によらない。

これを2回使うと、時刻 $t$ の位置の2次のモーメントは初めの状態の位置と運動量のモーメントで書くことができる。期待値を初めの状態でとった $\langle \cdot \rangle _0$ で書き、$\langle \hat x \rangle _0=\langle \hat p \rangle _0=0$ とすると、

$$\sigma(t)^2=\langle \hat x^2 \rangle _0+\frac{2t}{m}\,\Bigl\langle\frac{\hat x\hat p+\hat p\hat x}{2}\Bigr\rangle_0+\frac{t^2}{m^2}\langle \hat p^2 \rangle _0\tag{3.3.15}$$

を得る。右辺は、初めの位置 $x'$ と運動量 $p$ を持つ古典の粒子が直線 $x'+pt/m$ を進むときの位置の分散と同じ形をしている。位置と運動量の相関がない（真ん中の項が $0$ の）ガウス型の波束では $\langle \hat p^2 \rangle _0=\hbar^2/(4\sigma_0^2)$ なので、

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2\tag{3.3.16}$$

となり、共通例題③の正答（第3部第1章の結果）に一致する。

この形から、広がりの読み方が決まる。第1項は始点の広がりで、第3項は「運動量の広がり $\hbar/(2\sigma_0)$ を持つ古典の経路の束」が時間とともに扇形に開くことによる。量子力学に特有なのは、運動量の広がりの最小値が位置の広がりで $\hbar/(2\sigma_0)$ と決まっている点だけである。

遠方では位置の分布が運動量の分布になる

式 (3.3.11) の指数を $\frac{\mathrm{i} m}{2\hbar t}(x^2-2xx'+x'^2)$ と展開すると、

$$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} mx^2/(2\hbar t)}\int\mathrm{d} x'\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} (mx/t)x'/\hbar}\,\Bigl[\mathrm{e}^{\mathrm{i} mx'^2/(2\hbar t)}\psi_0(x')\Bigr]$$

となる。初めの波動関数の広がりを $a$ とすると、$t\gg ma^2/\hbar$ では角括弧の中の位相 $mx'^2/(2\hbar t)$ が $\psi_0$ のある範囲で $0$ に近づく。運動量表示 $\tilde\psi_0(p)=(2\pi\hbar)^{-1/2}\int\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px'/\hbar}\psi_0(x')\,\mathrm{d} x'$ を使うと

$$\psi(x,t)\approx\sqrt{\frac{m}{\mathrm{i} t}}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} mx^2/(2\hbar t)}\;\tilde\psi_0\Bigl(\frac{mx}{t}\Bigr),\qquad \lvert \psi(x,t)\rvert ^2\approx\frac mt\,\Bigl\lvert\tilde\psi_0\Bigl(\frac{mx}{t}\Bigr)\Bigr\rvert^2\tag{3.3.17}$$

を得る。時刻 $t$ に位置 $x$ で見つかる粒子は、原点付近から古典の経路で来たとすれば運動量 $p=mx/t$ を持っていた。遠方の位置の分布は、その運動量の分布を $x=pt/m$ で写したものになる。

この近似は、差の大きさを評価して確かめることができる。式 (3.3.17) の右辺との差は、$(\mathrm{e}^{\mathrm{i} mx'^2/(2\hbar t)}-1)\psi_0(x')$ を Fourier 変換して伝播させたものなので、Plancherel の等式からその2乗ノルムは $\int\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} mx'^2/(2\hbar t)}-1\rvert ^2\lvert \psi_0\rvert ^2\,\mathrm{d} x'$ に等しい。被積分関数は $4\lvert \psi_0\rvert ^2$ で抑えられ、各点で $0$ に近づくので、優収束定理から $t\to\infty$ で $0$ になる。