自由粒子：全経路の積分を1度に行う

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.2　★★★ 共通例題③の伝播関数を、古典の作用と3重対角行列の行列式から出す。結果はどの刻み $N$ でも厳密

離散の古典の経路

自由粒子（$V=0$）で式 (3.3.1) の $S_N$ を停留させる。$x_k$（$1\le k\le N-1$）で微分すると

$$\frac{\partial S_N}{\partial x_k}=\frac m\epsilon\bigl[(x_k-x_{k-1})-(x_{k+1}-x_k)\bigr]=-\frac m\epsilon\bigl(x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}\bigr)=0$$

で、これは $\ddot x=0$ の差分である。解は等間隔の点列 $x_k^{\mathrm{cl}}=x_i+(x_f-x_i)k/N$、すなわち直線の経路で、そこでの作用は

$$S_N^{\mathrm{cl}}=N\cdot\frac{m}{2\epsilon}\Bigl(\frac{x_f-x_i}{N}\Bigr)^2=\frac{m(x_f-x_i)^2}{2N\epsilon}=\frac{m(x_f-x_i)^2}{2t}\tag{3.3.6}$$

となる。離散の古典の作用は、刻み $N$ によらず連続の $S_{\mathrm{cl}}$ に一致する。

交差項が消えることも離散版で確かめておく。$x_k=x_k^{\mathrm{cl}}+y_k$ を入れると、1次の項は$\frac m\epsilon\sum_{k=0}^{N-1}(x_{k+1}^{\mathrm{cl}}-x_k^{\mathrm{cl}})(y_{k+1}-y_k)$ である。差分の和の部分和分（$y_0=y_N=0$ を使う）で$-\frac m\epsilon\sum_{k=1}^{N-1}y_k(x_{k+1}^{\mathrm{cl}}-2x_k^{\mathrm{cl}}+x_{k-1}^{\mathrm{cl}})$ と書き直せ、停留の条件から $0$ になる。

揺らぎの積分

残る揺らぎの作用は

$$S_N[y]=\frac{m}{2\epsilon}\sum_{k=0}^{N-1}(y_{k+1}-y_k)^2=\frac{m}{2\epsilon}\,\bm{y}^{\mathsf T}A_{N-1}\bm{y},\qquad A_n=\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&\ddots&\\&\ddots&\ddots&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}\ (n\times n)\tag{3.3.7}$$

と書ける。$\bm{y}=(y_1,\dots,y_{N-1})^{\mathsf T}$ で、$y_k^2$ は隣り合う2つの差に1回ずつ現れるので対角が $2$、隣どうしの積 $y_ky_{k+1}$ は1回だけ現れるので非対角が $-1$ になる。

$A_n$ は実対称で正定値（$\bm{y}^{\mathsf T}A\bm{y}=\sum(y_{k+1}-y_k)^2>0$）なので、直交行列で対角化でき、固有値 $\lambda_j>0$ ごとに1次元の Fresnel 積分に分かれる。第3部第1章の Gauss 積分の公式（収束因子つき）を各方向に当てると

$$\int\mathrm{d}^{n}y\;\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m}{2\hbar\epsilon}\bm{y}^{\mathsf T}A\bm{y}\Bigr] =\prod_{j=1}^{n}\sqrt{\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m\lambda_j}} =\Bigl(\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^{n/2}(\det A)^{-1/2}\tag{3.3.8}$$

である。直交変換の Jacobian は $1$ である。

行列式は、最後の行で余因子展開すると $D_n=\det A_n$ について漸化式

$$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2},\qquad D_0=1,\ D_1=2\tag{3.3.9}$$

を得る。$D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}=\dots=D_1-D_0=1$ なので $D_n=n+1$ である。

以上を式 (3.3.1) の前因子とまとめると、$n=N-1$ として

$$F_N=\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\Bigl(\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^{(N-1)/2}\frac{1}{\sqrt N} =\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar N\epsilon}}=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\tag{3.3.10}$$

となる。$N$ が残らないので極限 $N\to\infty$ をとるまでもなく値が決まる。式 (3.3.5)・(3.3.6)・(3.3.10) を合わせて

$$K_0(x_f,t;x_i,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\;\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2}{2\hbar t}\Bigr]\tag{3.3.11}$$

を得る。これは巻の共通例題③の伝播関数の正答と同じ形で、第3部第1章が区間を1つずつ合成して出した結果（第3部第1章）とも一致する。

2つの導き方の違いは、計算の順序にある。第3部第1章は中間の位置を1つずつ積分し、そのつど平方完成した。この節では、経路全体を「古典の経路」と「両端が $0$ の揺らぎ」に分け、揺らぎの $N-1$ 重積分を行列の対角化で1度に行った。後者では、端の位置への依存（古典の作用）と、端によらない数（揺らぎの因子）の役割が最初から分かれている。調和振動子へ広げるときに変わるのは行列 $A$ の対角だけである。

揺らぎの因子の大きさ $\lvert F\rvert =\sqrt{m/(2\pi\hbar t)}$ は、$\sqrt{\hbar t/m}$ の逆数の程度である。例題 3.3.1(3) で見たように、位相がそろう揺らぎの幅がこの長さで、伝播関数の規格化はその幅で決まっている。