調和振動子：揺らぎの因子と Mehler 核

量子力学の様々な構成方法　第3部 第3章 §3.3.5　★★★ 揺らぎの行列式は古典の運動方程式の初期値問題の解で決まり（Gel'fand–Yaglom）、共通例題①の Mehler 核が完成する

揺らぎの行列

調和振動子の揺らぎの作用を、式 (3.3.1) と同じく $V$ を区間の左端で評価して離散化する。$y_0=y_N=0$ なので

$$S_N[y]=\sum_{k=0}^{N-1}\Bigl[\frac m{2\epsilon}(y_{k+1}-y_k)^2-\epsilon\frac{m\omega^2}2y_k^2\Bigr] =\frac m{2\epsilon}\,\bm{y}^{\mathsf T}B_{N-1}\bm{y},\qquad B_n=A_n-\epsilon^2\omega^2\,\mathbb 1_n$$

である。自由粒子の行列 $A_n$ の対角が $2$ から $2-\epsilon^2\omega^2$ に変わるだけである。

$B_n$ の固有値は $A_n$ の固有値 $4\sin^2(j\pi/(2N))$（$j=1,\dots,N-1$）から $\epsilon^2\omega^2$ を引いたもので、最小のものは $N$ が大きいとき $(\pi^2-\omega^2t^2)/N^2$ に近い。したがって $\omega t<\pi$ ならすべて正で、式 (3.3.8) がそのまま使える。これは例題 3.3.1(1) で見た「最も緩やかな揺らぎのモードの作用の符号」と同じ条件である。

行列式の漸化式

$D_n=\det B_n$ も最後の行で展開すると

$$D_n=(2-\epsilon^2\omega^2)D_{n-1}-D_{n-2},\qquad D_0=1,\ D_{-1}=0\tag{3.3.23}$$

を満たす。$2\cos\theta=2-\epsilon^2\omega^2$ で角 $\theta$ を定める（$\epsilon\omega<2$ なら実数で、$\theta=2\arcsin(\epsilon\omega/2)$）。漸化式 $D_n=2\cos\theta\,D_{n-1}-D_{n-2}$ の解は三角関数の加法定理 $\sin(n+1)\theta=2\cos\theta\sin n\theta-\sin(n-1)\theta$ と同じ形なので、初期値に合わせて

$$D_n=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}\tag{3.3.24}$$

である（$\theta\to0$ で $D_n\to n+1$ となり、自由粒子に戻る）。前因子と合わせると、刻み $N$ の揺らぎの因子は

$$F_N=\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}\Bigr)^{N/2}\Bigl(\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^{(N-1)/2}D_{N-1}^{-1/2} =\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\,\epsilon D_{N-1}}},\qquad \epsilon D_{N-1}=\frac{\epsilon\sin N\theta}{\sin\theta}\tag{3.3.25}$$

となる。自由粒子と違い、今度は $N$ が残る。$N\to\infty$ では $\theta=\epsilon\omega+O(\epsilon^3)$ なので $\epsilon/\sin\theta\to1/\omega$、$N\theta\to\omega t$ で、

$$\epsilon D_{N-1}\to\frac{\sin\omega t}{\omega},\qquad F(t)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}}\tag{3.3.26}$$

を得る。

Gel'fand–Yaglom の読み方

式 (3.3.26) の $\sin\omega t/\omega$ は、行列式を計算しなくても求めることができる。$\phi_k=\epsilon D_{k-1}$（$\phi_0=0$、$\phi_1=\epsilon$）とおくと、漸化式 (3.3.23) は

$$\frac{\phi_{k+1}-2\phi_k+\phi_{k-1}}{\epsilon^2}=-\omega^2\phi_k$$

と書き直せる。これは揺らぎの運動方程式 $\ddot\phi=-\omega^2\phi$ の差分で、初期値は $\phi(0)=0$、$\dot\phi(0)=(\phi_1-\phi_0)/\epsilon=1$ に当たる。したがって $N\to\infty$ の極限は、初期値問題

$$\ddot\phi(s)=-\omega^2\phi(s),\quad \phi(0)=0,\quad\dot\phi(0)=1\qquad\Longrightarrow\qquad F(t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\,\phi(t)}}\tag{3.3.27}$$

の解の終点での値 $\phi(t)=\sin\omega t/\omega$ で決まる。自由粒子では $\phi(t)=t$ で、式 (3.3.10) に戻る。無限次元の行列式を、1本の常微分方程式の初期値問題に置き換えるこの方法は Gel'fand と Yaglom による（I. M. Gel'fand, A. M. Yaglom (1956), Uspekhi Mat. Nauk 11, no. 1, 77）。

$\phi(t)$ には古典力学の意味もある。$\phi$ は始点を固定して初速だけを単位量変えたときの終点のずれ、すなわち $m\,\partial x_f/\partial p_i$ で、式 (3.3.22) から $\phi(t)=m\bigl(-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f\partial x_i\bigr)^{-1}$ である。$\phi(t)=0$ となる時刻は、始点を出た経路が初速によらず1点に集まる共役点である。調和振動子では $\omega t=\pi$ がそれで、揺らぎの因子はそこで発散する。共役点を越えた先で位相がどう変わるかは、停留位相の章（第3部第4章）で扱う。

Mehler 核

式 (3.3.5)・(3.3.21)・(3.3.26) を合わせると、調和振動子の伝播関数は

$$K(x_f,t;x_i,0)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}}\; \exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i} m\omega}{2\hbar\sin\omega t}\Bigl[(x_f^2+x_i^2)\cos\omega t-2x_fx_i\Bigr]\Bigr\}\qquad(0<\omega t<\pi)\tag{3.3.28}$$

となる。これが共通例題①の Mehler 核で、巻の補足の正答表と同じ形である。$\omega\to0$ では式 (3.3.11) に戻る。検算では、式 (3.3.28) が Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\partial_tK=\bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{x_f}^2+\frac{m\omega^2}2x_f^2\bigr)K$ を満たすことも記号計算で確かめた。