逆向きの問題と、短い時間の核

量子力学の様々な構成方法　第3部 第5章 §3.5.1　★★★ 経路積分から微分方程式を出すには、1区間の核が「小さい幅の Gauss 関数」であることだけを使えばよい

第3部第2章（第3部第2章）は、基準（第1部の状態ベクトルと演算子）から出発し、時間分割と完全系の挿入と Trotter の積公式によって、伝播関数 $\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | x_i \rangle$ が時間分割した経路積分に等しいことを示した。同値性の地図の矢印「状態ベクトル → 経路積分」はそれで証明済みである。この章は第3部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち「基準との同値」の後半、逆向きの矢印「経路積分 → 状態ベクトル」を受け持つ。

逆向きの議論では、出発点に置くものを入れ替える。手元にあるのは第3部第1章（第3部第1章）の Feynman の要請だけで、「各経路に振幅 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ を割り当てて足すと伝播関数 $K$ になり、波動関数は $\psi(x,t)=\int\mathrm{d} x'\,K(x,t;x',t')\psi(x',t')$ で伝わり、確率密度は $\lvert \psi\rvert ^2$ である」という内容である。ヒルベルト空間も演算子もハミルトニアンも、まだ持っていない。この章で示すのは、これだけの材料から次の4つが出てくることである。

1. 波動関数は Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\partial_t\psi=\bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\bigr]\psi$ を満たす（3.5.2節）。ベクトルポテンシャルがあれば $(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/(2m)$ の形になる（3.5.3節）。
2. 時間発展はユニタリで、時間について群をなす。Stone の定理によりその生成子が自己共役なハミルトニアン $\hat H$ で、Chernoff の積公式により時間分割の極限は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ そのものである（3.5.4節）。
3. 位置と運動量の交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ と Heisenberg の運動方程式が、経路積分の部分積分の恒等式として出てくる（3.5.5節）。
4. 1と2と3をあわせると基準の公理 Q5（ユニタリな時間発展）と正準交換関係が復元され、第3部第2章の命題と組んで両向きの同値が完成する（3.5.6節）。

議論の中心は、1区間の振幅 $K_\epsilon$ が「幅 $\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ の振動する Gauss 関数」であるという1つの事実である。第3部第2章の例題で求めた変位のモーメント$\langle \eta^2 \rangle =\mathrm{i}\hbar\epsilon/m$ が、2階微分（運動エネルギー）・評価点の問題・交換関係の3つをまとめて決める。記号は第3部第1・2章に揃え、1次元の位置を $x$、区間の幅を $\epsilon$、1区間の変位を $\eta=x_{k+1}-x_k$ と書く。ポテンシャル $V$ は区間の前の点 $x_k$ で評価するのを既定とする。

手元にあるもの

Feynman の要請（第3部第1章）では、伝播関数は時間分割した積分の極限

$$K(x_f,t;x_i,0)=\lim_{N\to\infty}\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\prod_{k=0}^{N-1}K_\epsilon(x_{k+1},x_k),\qquad \epsilon=\frac tN,\quad x_0=x_i,\ x_N=x_f\tag{3.5.1}$$

で、1区間の振幅は

$$K_\epsilon(x',x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\;\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Bigl[\frac{m(x'-x)^2}{2\epsilon}-\epsilon V(x)\Bigr]\Bigr\}\tag{3.5.2}$$

である。指数の中身は、区間 $[t_k,t_{k+1}]$ を等速で進む直線の経路の作用 $\int(\frac m2\dot x^2-V)\mathrm{d} t$ を、$V$ だけ前の点で評価したものである。前因子 $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}$ は第3部第1章では「$\epsilon\to0$ で $K_\epsilon$ がデルタ関数に近づく」ように選んだ定数で、この章では3.5.2節でもう一度その条件から決め直す。

波動関数は、この伝播関数で過去の波動関数から作られる量として定義される。式 (3.5.1) の積は区間ごとに分かれているので、最後の1区間だけを切り離すと

$$\psi(x,t+\epsilon)=\int\mathrm{d} y\;K_\epsilon(x,y)\,\psi(y,t)\tag{3.5.3}$$

が成り立つ（極限 $N\to\infty$ の前の段階で、$t$ と $t+\epsilon$ がどちらも区切りの時刻であるとする）。この式は経路積分の合成則（第3部第1章）の、片方の区間を1区間にした特別な場合である。逆向きの問題は、式 (3.5.3) を $\epsilon$ について展開し、$\psi(x,t+\epsilon)-\psi(x,t)$ の $\epsilon$ の1次の係数を $\psi(x,t)$ とその微分で書くことに帰着する。それが書ければ、$\epsilon\to0$ で $\partial_t\psi$ を与える微分方程式が得られる。

核の幅は $\sqrt\epsilon$

$y=x-\eta$ と変数を替えると、核は $\eta$ の関数として $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)}$ に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V/\hbar}$ を掛けたものになる。前者の位相 $m\eta^2/(2\hbar\epsilon)$ は $\lvert \eta\rvert \lesssim\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ ではほとんど変わらず、それより外では急に振動する（図 3.5.1）。$\psi(y)$ がこの幅より長い尺度でしか変化しなければ、外側の振動する部分は $\psi$ を掛けて積分すると打ち消し合い、積分に残るのは幅 $\sqrt{\hbar\epsilon/m}$ の内側の寄与だけになる。内側では $\psi(x-\eta)$ を $\eta$ について Taylor 展開でき、各項は核のモーメント

$$\langle \eta^n \rangle \coloneqq\int\mathrm{d}\eta\,\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)}\,\eta^n:\qquad \langle 1 \rangle =1,\quad \langle \eta \rangle =\langle \eta^3 \rangle =0,\quad \langle \eta^2 \rangle =\frac{\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m},\quad \langle \eta^4 \rangle =3\Bigl(\frac{\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^2\tag{3.5.4}$$

で平均される（第3部第2章の例題で求めたもの。振動積分は時間に $\epsilon(1-\mathrm{i}\delta)$ の収束因子を入れて計算する）。$\eta^{2j}$ のモーメントは $\epsilon^j$ の大きさなので、$\epsilon$ の1次までを求めるには $\psi$ を $\eta$ の2次まで展開すれば足りる。これがこの章のすべての計算の骨組みである。

平面波では展開がいらない

自由粒子（$V=0$）なら、核は $\eta$ だけの関数なので式 (3.5.3) は畳み込みで、Fourier 変換すると掛け算になる。平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$ を入れると、Gauss 積分が厳密に実行できて

$$\int\mathrm{d}\eta\,\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(x-\eta)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hbar k^2\epsilon/(2m)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\tag{3.5.5}$$

となる。左辺の $\eta$ の積分は $\sqrt{c/\pi}\int\mathrm{d}\eta\,\mathrm{e}^{-c\eta^2-\mathrm{i} k\eta}=\mathrm{e}^{-k^2/(4c)}$ に $c=-\mathrm{i} m/(2\hbar\epsilon)$ を入れたもので、$-k^2/(4c)=-\mathrm{i}\hbar k^2\epsilon/(2m)$ である。平面波は形を変えずに位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_k\epsilon/\hbar}$（$E_k=\hbar^2k^2/(2m)$）だけを受け取る。すなわち、経路積分の自由な1区間は Fourier 空間で $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hbar k^2\epsilon/(2m)}$ を掛ける操作で、これは基準の自由な時間発展 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat p^2\epsilon/(2m\hbar)}$ の運動量表示に他ならない。展開を使う次節の計算は、この厳密な式の $\epsilon$ の1次をとることと同じである。