量子力学の様々な構成方法 第3部 第5章 §3.5.5 ★★★ 経路積分に関数を差し込むと時間順序積の行列要素になる。部分積分の恒等式から、正準交換関係と Heisenberg の運動方程式が出る
前節で取り戻したのは状態と時間発展で、基準のもう1つの柱である「位置と運動量の交換関係」はまだ出てきていない。経路積分には演算子が無いので、交換関係は「経路の上の普通の数の積を足したもの」から読み取るしかない。この節では、その読み取り方を示す。
差し込んだ関数は時間順序積になる
時間分割した経路積分の被積分関数に、時刻 t k t_k t k F ( x k ) F(x_k) F ( x k )
⟨ F ( x k ) ⟩ ≔ ∫ d x 1 ⋯ ∫ d x N − 1 ∏ j = 0 N − 1 K ϵ ( x j + 1 , x j ) F ( x k ) (3.5.20) \langle F(x_k) \rangle \coloneqq\int\mathrm{d} x_1\cdots\int\mathrm{d} x_{N-1}\;\prod_{j=0}^{N-1}K_\epsilon(x_{j+1},x_j)\;F(x_k)\tag{3.5.20} ⟨ F ( x k )⟩ : = ∫ d x 1 ⋯ ∫ d x N − 1 j = 0 ∏ N − 1 K ϵ ( x j + 1 , x j ) F ( x k ) ( 3.5.20 )
と書く（x 0 = x i x_0=x_i x 0 = x i x N = x f x_N=x_f x N = x f ⟨ 1 ⟩ \langle 1 \rangle ⟨ 1 ⟩ K ^ ϵ \hat K_\epsilon K ^ ϵ t k t_k t k ∫ d x k ∣ x k ⟩ ⟨ x k ∣ \int\mathrm{d} x_k| x_k \rangle \langle x_k | ∫ d x k ∣ x k ⟩ ⟨ x k ∣ F ( x k ) F(x_k) F ( x k ) F ( x ^ ) ∣ x k ⟩ = F ( x k ) ∣ x k ⟩ F(\hat x)| x_k \rangle =F(x_k)| x_k \rangle F ( x ^ ) ∣ x k ⟩ = F ( x k ) ∣ x k ⟩ ⟨ F ( x k ) ⟩ = ⟨ x f ∣ K ^ ϵ N − k F ( x ^ ) K ^ ϵ k ∣ x i ⟩ \langle F(x_k) \rangle =\langle x_f | \hat K_\epsilon^{N-k}F(\hat x)\hat K_\epsilon^{k} | x_i \rangle ⟨ F ( x k )⟩ = ⟨ x f ∣ K ^ ϵ N − k F ( x ^ ) K ^ ϵ k ∣ x i ⟩ F ( x k ) G ( x l ) = G ( x l ) F ( x k ) F(x_k)G(x_l)=G(x_l)F(x_k) F ( x k ) G ( x l ) = G ( x l ) F ( x k )
運動量は位置の差 p k + 1 / 2 ≔ m ( x k + 1 − x k ) / ϵ p_{k+1/2}\coloneqq m(x_{k+1}-x_k)/\epsilon p k + 1/2 : = m ( x k + 1 − x k ) / ϵ k + 1 / 2 k+1/2 k + 1/2 [ t k , t k + 1 ] [t_k,t_{k+1}] [ t k , t k + 1 ] K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = m / ( 2 π i ℏ ϵ ) e i m ( x ′ − x ) 2 / ( 2 ℏ ϵ ) K^{(0)}_\epsilon(x',x)=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)}\mathrm{e}^{\mathrm{i} m(x'-x)^2/(2\hbar\epsilon)} K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = m / ( 2 π i ℏ ϵ ) e i m ( x ′ − x ) 2 / ( 2ℏ ϵ )
m ( x ′ − x ) ϵ K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = − i ℏ ∂ ∂ x ′ K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = ⟨ x ′ ∣ p ^ e − i p ^ 2 ϵ / ( 2 m ℏ ) ∣ x ⟩ (3.5.21) \frac{m(x'-x)}{\epsilon}K^{(0)}_\epsilon(x',x)=-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial x'}K^{(0)}_\epsilon(x',x)=\langle x' | \hat p\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat p^2\epsilon/(2m\hbar)} | x \rangle\tag{3.5.21} ϵ m ( x ′ − x ) K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = − i ℏ ∂ x ′ ∂ K ϵ ( 0 ) ( x ′ , x ) = ⟨ x ′ ∣ p ^ e − i p ^ 2 ϵ / ( 2 m ℏ ) ∣ x ⟩ ( 3.5.21 )
が成り立つ（⟨ x ′ ∣ p ^ ∣ φ ⟩ = − i ℏ ∂ x ′ φ ( x ′ ) \langle x' | \hat p | \varphi \rangle =-\mathrm{i}\hbar\partial_{x'}\varphi(x') ⟨ x ′ ∣ p ^ ∣ φ ⟩ = − i ℏ ∂ x ′ φ ( x ′ ) V V V e − i ϵ V ( x ) / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V(x)/\hbar} e − i ϵ V ( x ) /ℏ p k + 1 / 2 K ϵ ( x k + 1 , x k ) = ⟨ x k + 1 ∣ p ^ K ^ ϵ ∣ x k ⟩ p_{k+1/2}K_\epsilon(x_{k+1},x_k)=\langle x_{k+1} | \hat p\hat K_\epsilon | x_k \rangle p k + 1/2 K ϵ ( x k + 1 , x k ) = ⟨ x k + 1 ∣ p ^ K ^ ϵ ∣ x k ⟩ p k + 1 / 2 p_{k+1/2} p k + 1/2 k k k K ^ ϵ \hat K_\epsilon K ^ ϵ p ^ \hat p p ^
図 3.5.3 経路積分に差し込んだ量の時間の位置。x k x_k x k t k t_k t k p k ± 1 / 2 p_{k\pm1/2} p k ± 1/2 x k p k − 1 / 2 x_kp_{k-1/2} x k p k − 1/2 x ^ p ^ \hat x\hat p x ^ p ^ x k p k + 1 / 2 x_kp_{k+1/2} x k p k + 1/2 p ^ x ^ \hat p\hat x p ^ x ^
部分積分の恒等式
経路積分の中間の変数 x k x_k x k F F F ∫ d x k ∂ x k ( F e i S N / ℏ ) = 0 \int\mathrm{d} x_k\,\partial_{x_k}\bigl(F\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_N/\hbar}\bigr)=0 ∫ d x k ∂ x k ( F e i S N /ℏ ) = 0
⟨ ∂ F ∂ x k ⟩ = − i ℏ ⟨ F ∂ S N ∂ x k ⟩ (3.5.22) \Bigl\langle\frac{\partial F}{\partial x_k}\Bigr\rangle=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Bigl\langle F\,\frac{\partial S_N}{\partial x_k}\Bigr\rangle\tag{3.5.22} ⟨ ∂ x k ∂ F ⟩ = − ℏ i ⟨ F ∂ x k ∂ S N ⟩ ( 3.5.22 )
を得る（前因子は定数なので積分の外に出る）。これは場の量子論で Schwinger–Dyson 方程式と呼ばれる恒等式の、1粒子の時間分割版である。折れ線の作用 S N = ∑ j [ m ( x j + 1 − x j ) 2 2 ϵ − ϵ V ( x j ) ] S_N=\sum_j\bigl[\frac{m(x_{j+1}-x_j)^2}{2\epsilon}-\epsilon V(x_j)\bigr] S N = ∑ j [ 2 ϵ m ( x j + 1 − x j ) 2 − ϵ V ( x j ) ] x k x_k x k j = k − 1 j=k-1 j = k − 1 j = k j=k j = k
∂ S N ∂ x k = p k − 1 / 2 − p k + 1 / 2 − ϵ V ′ ( x k ) (3.5.23) \frac{\partial S_N}{\partial x_k}=p_{k-1/2}-p_{k+1/2}-\epsilon V'(x_k)\tag{3.5.23} ∂ x k ∂ S N = p k − 1/2 − p k + 1/2 − ϵ V ′ ( x k ) ( 3.5.23 )
である。古典力学では作用の停留条件 ∂ S N / ∂ x k = 0 \partial S_N/\partial x_k=0 ∂ S N / ∂ x k = 0 第3部第4章 ）。量子力学では停留させるのでなく、式 (3.5.22) のとおり ∂ S N / ∂ x k \partial S_N/\partial x_k ∂ S N / ∂ x k
運動方程式
式 (3.5.22) で F = 1 F=1 F = 1
⟨ p k + 1 / 2 − p k − 1 / 2 ϵ ⟩ = − ⟨ V ′ ( x k ) ⟩ (3.5.24) \Bigl\langle\frac{p_{k+1/2}-p_{k-1/2}}{\epsilon}\Bigr\rangle=-\langle V'(x_k) \rangle\tag{3.5.24} ⟨ ϵ p k + 1/2 − p k − 1/2 ⟩ = − ⟨ V ′ ( x k )⟩ ( 3.5.24 )
が有限の N N N k k k k − 1 k-1 k − 1 − ϵ V ′ ( x ^ ) -\epsilon V'(\hat x) − ϵ V ′ ( x ^ ) ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 d p ^ H d t = − V ′ ( x ^ H ) \frac{\mathrm{d} \hat p_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=-V'(\hat x_{\mathrm H}) d t d p ^ H = − V ′ ( x ^ H ) 第2部第3章 ）を任意の始状態と終状態のあいだの行列要素として述べたものになる。古典の Newton の方程式は「経路の上で成り立つ」のに対し、量子の運動方程式は「経路について足したあとで成り立つ」。これが2つの違いである。
交換関係
式 (3.5.22) で F = x k F=x_k F = x k ⟨ 1 ⟩ \langle 1 \rangle ⟨ 1 ⟩
⟨ x k p k − 1 / 2 ⟩ − ⟨ x k p k + 1 / 2 ⟩ = i ℏ ⟨ 1 ⟩ + ϵ ⟨ x k V ′ ( x k ) ⟩ (3.5.25) \langle x_kp_{k-1/2} \rangle -\langle x_kp_{k+1/2} \rangle =\mathrm{i}\hbar\langle 1 \rangle +\epsilon\langle x_kV'(x_k) \rangle\tag{3.5.25} ⟨ x k p k − 1/2 ⟩ − ⟨ x k p k + 1/2 ⟩ = i ℏ ⟨ 1 ⟩ + ϵ ⟨ x k V ′ ( x k )⟩ ( 3.5.25 )
となる。経路積分の側では、左辺は同じ時刻 t k t_k t k p k − 1 / 2 p_{k-1/2} p k − 1/2 p k + 1 / 2 p_{k+1/2} p k + 1/2 ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 i ℏ \mathrm{i}\hbar i ℏ ϵ \sqrt\epsilon ϵ p k ± 1 / 2 p_{k\pm1/2} p k ± 1/2 1 / ϵ 1/\sqrt\epsilon 1/ ϵ
演算子に戻すと、図 3.5.3 のとおり x k p k − 1 / 2 x_kp_{k-1/2} x k p k − 1/2 x ^ p ^ \hat x\hat p x ^ p ^ x k p k + 1 / 2 x_kp_{k+1/2} x k p k + 1/2 p ^ x ^ \hat p\hat x p ^ x ^ K ^ ϵ = e − i H ^ 0 ϵ / ℏ e − i V ^ ϵ / ℏ \hat K_\epsilon=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar} K ^ ϵ = e − i H ^ 0 ϵ /ℏ e − i V ^ ϵ /ℏ e − i V ^ ϵ / ℏ p ^ e i V ^ ϵ / ℏ = p ^ + ϵ V ′ ( x ^ ) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar}\hat p\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar}=\hat p+\epsilon V'(\hat x) e − i V ^ ϵ /ℏ p ^ e i V ^ ϵ /ℏ = p ^ + ϵ V ′ ( x ^ )
K ^ ϵ x ^ p ^ K ^ ϵ − p ^ K ^ ϵ x ^ K ^ ϵ = e − i H ^ 0 ϵ / ℏ ( [ x ^ , p ^ ] + ϵ x ^ V ′ ( x ^ ) ) e − i V ^ ϵ / ℏ K ^ ϵ (3.5.26) \hat K_\epsilon\,\hat x\,\hat p\hat K_\epsilon-\hat p\hat K_\epsilon\,\hat x\,\hat K_\epsilon=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar}\bigl(\left[\hat x,\,\hat p\right]+\epsilon\hat xV'(\hat x)\bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar}\hat K_\epsilon\tag{3.5.26} K ^ ϵ x ^ p ^ K ^ ϵ − p ^ K ^ ϵ x ^ K ^ ϵ = e − i H ^ 0 ϵ /ℏ ( [ x ^ , p ^ ] + ϵ x ^ V ′ ( x ^ ) ) e − i V ^ ϵ /ℏ K ^ ϵ ( 3.5.26 )
が演算子の恒等式として成り立ち、これと式 (3.5.25) を比べると [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ e − i H ^ 0 ϵ / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0\epsilon/\hbar} e − i H ^ 0 ϵ /ℏ p ^ \hat p p ^ (3.5.25) は任意の始点と終点のあいだで成り立つので、行列要素がすべて一致し、演算子として [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ Quantum Mechanics and Path Integrals , McGraw-Hill）でも演算子の扱いの中心に置かれている。
例題 3.5.5 運動エネルギーを差し込むと発散する ★★
オリジナル 自由粒子の経路積分で、区間ごとの変位を η k = v ϵ + ξ k \eta_k=v\epsilon+\xi_k η k = v ϵ + ξ k v v v ξ k \xi_k ξ k ⟨ ξ k ⟩ = 0 \langle \xi_k \rangle =0 ⟨ ξ k ⟩ = 0 ⟨ ξ k 2 ⟩ = i ℏ ϵ / m \langle \xi_k^2 \rangle =\mathrm{i}\hbar\epsilon/m ⟨ ξ k 2 ⟩ = i ℏ ϵ / m
(1) 1区間の運動エネルギー m 2 ( η k / ϵ ) 2 \frac m2(\eta_k/\epsilon)^2 2 m ( η k / ϵ ) 2 ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 (2) 隣り合う区間の積 m 2 η k η k − 1 / ϵ 2 \frac m2\eta_k\eta_{k-1}/\epsilon^2 2 m η k η k − 1 / ϵ 2 (3) 電子で ϵ = 10 − 18 s \epsilon=10^{-18}\,\mathrm s ϵ = 1 0 − 18 s
解答 (1) ⟨ η k 2 ⟩ = v 2 ϵ 2 + ⟨ ξ k 2 ⟩ = v 2 ϵ 2 + i ℏ ϵ / m \langle \eta_k^2 \rangle =v^2\epsilon^2+\langle \xi_k^2 \rangle =v^2\epsilon^2+\mathrm{i}\hbar\epsilon/m ⟨ η k 2 ⟩ = v 2 ϵ 2 + ⟨ ξ k 2 ⟩ = v 2 ϵ 2 + i ℏ ϵ / m
⟨ m 2 ( η k ϵ ) 2 ⟩ = m v 2 2 + i ℏ 2 ϵ \Bigl\langle\frac m2\Bigl(\frac{\eta_k}{\epsilon}\Bigr)^2\Bigr\rangle=\frac{mv^2}{2}+\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\epsilon} ⟨ 2 m ( ϵ η k ) 2 ⟩ = 2 m v 2 + 2 ϵ i ℏ
である。第2項は ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 1 / ϵ 1/\epsilon 1/ ϵ 1 / ϵ 1/\sqrt\epsilon 1/ ϵ
(2) ξ k \xi_k ξ k ξ k − 1 \xi_{k-1} ξ k − 1 ⟨ η k η k − 1 ⟩ = v 2 ϵ 2 \langle \eta_k\eta_{k-1} \rangle =v^2\epsilon^2 ⟨ η k η k − 1 ⟩ = v 2 ϵ 2 m v 2 2 \frac{mv^2}{2} 2 m v 2 p ^ 2 \hat p^2 p ^ 2 (3.5.25) で前後の区間の運動量を区別したのと同じ考え方で、演算子の積を経路積分に差し込むときは時間の順序を指定する必要がある。
(3) ℏ / ( 2 ϵ ) = 1.055 × 10 − 34 / ( 2 × 10 − 18 ) J = 5.27 × 10 − 17 J \hbar/(2\epsilon)=1.055\times10^{-34}/(2\times10^{-18})\,\mathrm J=5.27\times10^{-17}\,\mathrm J ℏ/ ( 2 ϵ ) = 1.055 × 1 0 − 34 / ( 2 × 1 0 − 18 ) J = 5.27 × 1 0 − 17 J 329 e V 329\,\mathrm{eV} 329 eV ϵ \epsilon ϵ
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
