量子力学の様々な構成方法 第3部 第5章 §3.5.6 ★★★ 地図の「経路積分 → 状態ベクトル」の矢印の証明。第3部第2章とあわせて両向きがそろう。拡散方程式との対応も同じ展開で読める
証明したこと
この章の3.5.2 〜3.5.5 節の結果を、同値性の地図（第1部第1章 ）の矢印の言葉で命題にまとめる。
命題 3.5.3（経路積分から基準へ ★★★）
V V V (3.5.1) ・(3.5.2) と Born の規則 ∣ ψ ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2
(i) 波動関数の空間は L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L 2 ( R ) U ^ ( t ) = lim N K ^ t / N N \hat U(t)=\lim_N\hat K_{t/N}^N U ^ ( t ) = lim N K ^ t / N N (ii) その生成子は自己共役な H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ ) \hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x) H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ ) p ^ = − i ℏ ∂ x \hat p=-\mathrm{i}\hbar\partial_x p ^ = − i ℏ ∂ x U ^ ( t ) = e − i H ^ t / ℏ \hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} U ^ ( t ) = e − i H ^ t /ℏ D ( H ^ ) \mathcal{D}(\hat H) D ( H ^ ) ψ ( t ) = U ^ ( t ) ψ ( 0 ) \psi(t)=\hat U(t)\psi(0) ψ ( t ) = U ^ ( t ) ψ ( 0 ) (3.5.12) を満たす。(iii) 差し込んだ量の時間順序から、[ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ (3.5.24) が行列要素の恒等式として従う。
逆に、基準の e − i H ^ t / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} e − i H ^ t /ℏ 第3部第2章 の命題）。したがって、2つの出発点は同じ時間発展を与える。
証明 (i) ヒルベルト空間は3.5.4 節の議論による。各 K ^ ϵ \hat K_\epsilon K ^ ϵ (3.5.19) ）と、(ii) で示す極限の存在から、U ^ ( t ) \hat U(t) U ^ ( t ) e − i H ^ t / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} e − i H ^ t /ℏ S \mathcal S S ψ ∈ S \psi\in\mathcal S ψ ∈ S ( K ^ ϵ ψ − ψ ) / ϵ → − i ℏ H ^ ψ (\hat K_\epsilon\psi-\psi)/\epsilon\to-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat H\psi ( K ^ ϵ ψ − ψ ) / ϵ → − ℏ i H ^ ψ L 2 L^2 L 2 3.5.2 節の展開と例題 3.5.1 の (2) の評価）。仮定のもとで H ^ \hat H H ^ S \mathcal S S 3.5.2 ）により K ^ t / N N ψ → e − i H ^ t / ℏ ψ \hat K_{t/N}^N\psi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\psi K ^ t / N N ψ → e − i H ^ t /ℏ ψ ψ \psi ψ 3.5.1 ）の生成子の定義そのものである。(iii) 式 (3.5.22) 〜(3.5.26) による。
第3部第1章では自由粒子に限って両向きを確かめた。第3部第2章の命題（基準 → 経路積分）とこの命題（経路積分 → 基準）で、ポテンシャルのある1粒子の場合の両向きがそろった。ベクトルポテンシャルがある場合は3.5.3 節のとおり中点で離散化したときに限って ( p ^ − q A ) 2 / ( 2 m ) + q ϕ (\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi ( p ^ − q A ) 2 / ( 2 m ) + q ϕ
経路積分の部品と基準の公理
第3部第2章の表は「基準の操作が経路積分のどの部品になったか」を並べた。この章で示したのはその逆向きで、経路積分の部品から基準の公理（第1部第2章 ）が出てくる対応である。
経路積分（第3部） 基準（第1部） Born の規則 ∣ ψ ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2 公理 Q1・Q3：状態空間 L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L 2 ( R ) 合成則 K = ∫ K K K=\int K K K = ∫ K K 時間発展の群 U ^ ( t + s ) = U ^ ( t ) U ^ ( s ) \hat U(t+s)=\hat U(t)\hat U(s) U ^ ( t + s ) = U ^ ( t ) U ^ ( s ) 作用が実数 K ^ ϵ \hat K_\epsilon K ^ ϵ 1区間の核の幅 ⟨ η 2 ⟩ = i ℏ ϵ / m \langle \eta^2 \rangle =\mathrm{i}\hbar\epsilon/m ⟨ η 2 ⟩ = i ℏ ϵ / m 運動エネルギー − ℏ 2 2 m ∂ x 2 -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2 − 2 m ℏ 2 ∂ x 2 前因子 m / ( 2 π i ℏ ϵ ) \sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon)} m / ( 2 π i ℏ ϵ ) ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 U ^ → 1 ^ \hat U\to\hat 1 U ^ → 1 ^ Stone の定理・Chernoff の積公式 自己共役な H ^ \hat H H ^ U ^ ( t ) = e − i H ^ t / ℏ \hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} U ^ ( t ) = e − i H ^ t /ℏ 差し込んだ量の時間の順序 演算子の積の順序 部分積分の恒等式 (3.5.22) [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ A \bm{A} A 演算子の順序（Weyl の順序）
ほかの巻では
『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第4部第8章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第8章 ）は経路積分を「解析力学の量子版」として扱い、正準量子化から経路積分を導く向きを書いている。この巻では経路積分を同値な構成の1つとして扱うので、Feynman の要請だけから基準へ戻る向きを、ヒルベルト空間とユニタリ性まで含めてこの章で示した。
学部の授業での書き方との対応
学部の量子力学の授業では、Schrödinger 方程式を出発点に置き、伝播関数はその Green 関数として後から定義する。すなわち
( i ℏ ∂ ∂ t − H ^ x ) K ( x , t ; x ′ , 0 ) = 0 ( t > 0 ) , lim t → + 0 K ( x , t ; x ′ , 0 ) = δ ( x − x ′ ) (3.5.27) \Bigl(\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial t}-\hat H_x\Bigr)K(x,t;x',0)=0\quad(t>0),\qquad \lim_{t\to+0}K(x,t;x',0)=\delta(x-x')\tag{3.5.27} ( i ℏ ∂ t ∂ − H ^ x ) K ( x , t ; x ′ , 0 ) = 0 ( t > 0 ) , t → + 0 lim K ( x , t ; x ′ , 0 ) = δ ( x − x ′ ) ( 3.5.27 )
を満たす K K K ψ ( x , t ) = ∫ K ψ ( x ′ , 0 ) d x ′ \psi(x,t)=\int K\psi(x',0)\mathrm{d} x' ψ ( x , t ) = ∫ K ψ ( x ′ , 0 ) d x ′ H ^ x \hat H_x H ^ x x x x H ^ \hat H H ^ 3.5.2 節は、これとちょうど逆の順で進んだ。経路積分で K K K (3.5.27) の左の式を導き、K ϵ → δ K_\epsilon\to\delta K ϵ → δ
同じ展開で拡散方程式が出る
3.5.2 節の計算で使ったのは、核の0次・1次・2次のモーメントだけである。核を実の Gauss 関数（熱核）1 4 π D ϵ e − η 2 / ( 4 D ϵ ) \frac{1}{\sqrt{4\pi D\epsilon}}\mathrm{e}^{-\eta^2/(4D\epsilon)} 4 π D ϵ 1 e − η 2 / ( 4 D ϵ ) ⟨ η 2 ⟩ = 2 D ϵ \langle \eta^2 \rangle =2D\epsilon ⟨ η 2 ⟩ = 2 D ϵ ∂ t ρ = D ∂ x 2 ρ \partial_t\rho=D\,\partial_x^2\rho ∂ t ρ = D ∂ x 2 ρ i ℏ / m \mathrm{i}\hbar/m i ℏ/ m 2 D 2D 2 D t = − i τ t=-\mathrm{i}\tau t = − i τ ℏ / ( 2 m ) \hbar/(2m) ℏ/ ( 2 m ) 第3部第6章 ）、Wiener 測度と Feynman–Kac の公式、Nelson の確率過程量子化（第7部第5章 。拡散係数 ν = ℏ / ( 2 m ) \nu=\hbar/(2m) ν = ℏ/ ( 2 m ) e i m η 2 / ( 2 ℏ ϵ ) \mathrm{e}^{\mathrm{i} m\eta^2/(2\hbar\epsilon)} e i m η 2 / ( 2ℏ ϵ )
例題 3.5.6 熱核の展開と虚時間 ★★
オリジナル
(1) 熱核 G ϵ ( η ) = e − η 2 / ( 4 D ϵ ) / 4 π D ϵ G_\epsilon(\eta)=\mathrm{e}^{-\eta^2/(4D\epsilon)}/\sqrt{4\pi D\epsilon} G ϵ ( η ) = e − η 2 / ( 4 D ϵ ) / 4 π D ϵ ρ ( x , t + ϵ ) = ∫ d η G ϵ ( η ) ρ ( x − η , t ) \rho(x,t+\epsilon)=\int\mathrm{d}\eta\,G_\epsilon(\eta)\rho(x-\eta,t) ρ ( x , t + ϵ ) = ∫ d η G ϵ ( η ) ρ ( x − η , t ) ϵ \epsilon ϵ (2) 自由な Schrödinger 方程式に t = − i τ t=-\mathrm{i}\tau t = − i τ u ( x , τ ) = ψ ( x , − i τ ) u(x,\tau)=\psi(x,-\mathrm{i}\tau) u ( x , τ ) = ψ ( x , − i τ ) ℏ / ( 2 m ) \hbar/(2m) ℏ/ ( 2 m ) (3) 電子の ν = ℏ / ( 2 m ) \nu=\hbar/(2m) ν = ℏ/ ( 2 m ) τ = 1 n s \tau=1\,\mathrm{ns} τ = 1 ns 2 ν τ \sqrt{2\nu\tau} 2 ν τ
解答 (1) G ϵ G_\epsilon G ϵ 2 D ϵ 2D\epsilon 2 D ϵ ⟨ 1 ⟩ = 1 \langle 1 \rangle =1 ⟨ 1 ⟩ = 1 ⟨ η ⟩ = 0 \langle \eta \rangle =0 ⟨ η ⟩ = 0 ⟨ η 2 ⟩ = 2 D ϵ \langle \eta^2 \rangle =2D\epsilon ⟨ η 2 ⟩ = 2 D ϵ (3.5.8) と同じ展開でρ ( x , t + ϵ ) = ρ + 2 D ϵ 2 ∂ x 2 ρ + O ( ϵ 2 ) \rho(x,t+\epsilon)=\rho+\frac{2D\epsilon}{2}\partial_x^2\rho+\mathcal{O}(\epsilon^2) ρ ( x , t + ϵ ) = ρ + 2 2 D ϵ ∂ x 2 ρ + O ( ϵ 2 ) ∂ t ρ = D ∂ x 2 ρ \partial_t\rho=D\,\partial_x^2\rho ∂ t ρ = D ∂ x 2 ρ
(2) t = − i τ t=-\mathrm{i}\tau t = − i τ ∂ t = i ∂ τ \partial_t=\mathrm{i}\,\partial_\tau ∂ t = i ∂ τ i ℏ ∂ t ψ = i ℏ ⋅ i ∂ τ u = − ℏ ∂ τ u \mathrm{i}\hbar\partial_t\psi=\mathrm{i}\hbar\cdot\mathrm{i}\,\partial_\tau u=-\hbar\,\partial_\tau u i ℏ ∂ t ψ = i ℏ ⋅ i ∂ τ u = − ℏ ∂ τ u − ℏ 2 2 m ∂ x 2 u -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2u − 2 m ℏ 2 ∂ x 2 u ∂ τ u = ℏ 2 m ∂ x 2 u \partial_\tau u=\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2u ∂ τ u = 2 m ℏ ∂ x 2 u ℏ / ( 2 m ) \hbar/(2m) ℏ/ ( 2 m ) 2 D ϵ 2D\epsilon 2 D ϵ D = ℏ / ( 2 m ) D=\hbar/(2m) D = ℏ/ ( 2 m ) ℏ ϵ / m \hbar\epsilon/m ℏ ϵ / m i ℏ ϵ / m \mathrm{i}\hbar\epsilon/m i ℏ ϵ / m i \mathrm{i} i
(3) ν = 1.055 × 10 − 34 / ( 2 × 9.11 × 10 − 31 ) m 2 s − 1 = 5.79 × 10 − 5 m 2 s − 1 \nu=1.055\times10^{-34}/(2\times9.11\times10^{-31})\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}=5.79\times10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}} ν = 1.055 × 1 0 − 34 / ( 2 × 9.11 × 1 0 − 31 ) m 2 s − 1 = 5.79 × 1 0 − 5 m 2 s − 1 2 ν τ = 2 × 5.79 × 10 − 5 × 10 − 9 m = 0.340 μ m \sqrt{2\nu\tau}=\sqrt{2\times5.79\times10^{-5}\times10^{-9}}\,\mathrm m=0.340\,\mu\mathrm m 2 ν τ = 2 × 5.79 × 1 0 − 5 × 1 0 − 9 m = 0.340 μ m ℏ ϵ / m \sqrt{\hbar\epsilon/m} ℏ ϵ / m ϵ \epsilon ϵ τ = 1 n s \tau=1\,\mathrm{ns} τ = 1 ns
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
