拡散過程の前向きと後ろ向き

量子力学の様々な構成方法　第7部 第5章 §7.5.1　★★ Nelson の構成に要る道具だけを最短でそろえる。後ろ向きのドリフトと浸透速度が、この章の新しい対象である

第7部第1章では、波動関数を極形式 $\psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ に書き、Schrödinger 方程式を密度 $\rho$ と速度場 $\bm{v}=\nabla S/m$ の流体の方程式に書き直した（第7部第1章）。第7部第4章では、その流れの流線を粒子の軌道と読んだ（第7部第4章）。この章では同じ流体を、まったく別の向きから組み立てる。出発点に置くのは波動関数でなく、粒子の位置が拡散過程に従うという仮定である。I. Fényes（1952）が最初にこの方向を試み、E. Nelson（1966）が完成させた。Nelson は、拡散係数を $\nu=\hbar/(2m)$ に取った Markov の拡散過程について、前向きと後ろ向きの2つの平均の加速度を対称に組み合わせたものが Newton の法則 $m\bm{a}=-\nabla V$ に従うと要請すると、Schrödinger 方程式が出てくることを示した。この構成を確率過程量子化（stochastic mechanics、確率力学とも呼ぶ）という。

部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は第7部の中で「拡散過程」という対象についての一巡りを受け持つ。第1節で拡散過程の道具（前向きと後ろ向きのドリフト・浸透速度・流れの速度）を最小限そろえる。第2節で Nelson の要請を置き、平均の加速度の Newton の法則から第7部第1章の Madelung 方程式を導いて、基準との同値性を両向きに示す。第3節で共通例題①③を拡散で解く。調和振動子の基準状態は Ornstein–Uhlenbeck 過程になる。第4節では、第7部第1章から回ってきた問題、つまり熱平衡の状態を扱い、混合状態が1つの Nelson の過程に書けないことを証明する。第5節では、名前の似た Parisi–Wu の確率過程量子化がこの章の構成とは別物であることを、両方の式を並べてはっきりさせる。第6節の橋で、基準・流体・Bohm の軌道・虚時間の経路積分・古典の Brown 運動とのつながりを式で示す。多時刻の相関の食い違いと Feynman–Kac の公式は第7部第6章（第7部第6章）で扱う。

拡散過程と確率微分方程式の測度論的な基礎は、基礎理論の棚『確率論入門』第14章（確率過程とマルコフ連鎖）の先にある。この章では Brown 運動の増分の平均と分散だけを使い、確率積分の厳密な定義には立ち入らない。

前向きのドリフトと Fokker–Planck 方程式

1次元で書く（多次元は成分ごとに同じで、違いが出る所だけ第2節で断る）。粒子の位置 $X(t)$ が、確率微分方程式

$$\mathrm{d} X=b(X,t)\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} W,\qquad \langle \mathrm{d} W \rangle =0,\quad \langle \mathrm{d} W^2 \rangle =2\nu\,\mathrm{d} t\tag{7.5.1}$$

に従うとする。$W(t)$ は分散が $2\nu t$ で増える Brown 運動（Wiener 過程）で、異なる時間区間の増分は独立である。$\nu$ を拡散係数、$b$ を前向きのドリフトという。(7.5.1) は「今の位置 $X(t)=x$ を知ったとき、少し先の変位の平均は $b(x,t)\Delta t$、分散は $2\nu\Delta t$」と読む。したがって

$$b(x,t)=\lim_{\Delta t\to+0}\frac{1}{\Delta t}\,\mathrm E\bigl[X(t+\Delta t)-X(t)\bigm| X(t)=x\bigr]\tag{7.5.2}$$

である（$\mathrm E[\,\cdot\mid\cdot\,]$ は条件付き期待値）。

関数 $f(x,t)$ を過程に沿って見る。$\Delta X=X(t+\Delta t)-X(t)$ として Taylor 展開すると$f(X+\Delta X,t+\Delta t)-f(X,t)=\partial_tf\,\Delta t+f'\Delta X+\tfrac12f''\Delta X^2+\cdots$ で、条件付き期待値を取ると$\mathrm E[\Delta X]=b\Delta t$、$\mathrm E[\Delta X^2]=2\nu\Delta t+\mathcal{O}(\Delta t^2)$ なので、前向きの平均微分

$$\mathrm Df(x,t)\coloneqq\lim_{\Delta t\to+0}\frac{\mathrm E[f(X(t+\Delta t),t+\Delta t)-f(X(t),t)\mid X(t)=x]}{\Delta t}=\Bigl(\partial_t+b\,\partial_x+\nu\,\partial_x^2\Bigr)f\tag{7.5.3}$$

を得る。2階微分の項は、変位の2乗の平均が $\Delta t$ の1次であること（Brown 運動の道筋が微分できないこと）の表れで、通常の微分の連鎖律には無い項である。

$X(t)$ の確率密度を $\rho(x,t)$ とする。$f$ が $t$ によらないとき $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\mathrm E[f(X)]=\mathrm E[\mathrm Df]=\int\rho\,(bf'+\nu f'')\,\mathrm{d} x$ で、部分積分して左辺 $\int\partial_t\rho\,f\,\mathrm{d} x$ と比べると、すべての $f$ について等しいことから

$$\partial_t\rho=-\partial_x(b\rho)+\nu\,\partial_x^2\rho\tag{7.5.4}$$

が出る。これが Fokker–Planck 方程式である。第1項はドリフトによる運搬、第2項は拡散による広がりを表す。

後ろ向きのドリフト

(7.5.2) は「今を知って未来を平均する」量だった。時間を逆に見て「今を知って過去を平均する」と、別のドリフトが定まる。

$$b_*(x,t)\coloneqq\lim_{\Delta t\to+0}\frac{1}{\Delta t}\,\mathrm E\bigl[X(t)-X(t-\Delta t)\bigm| X(t)=x\bigr]\tag{7.5.5}$$

を後ろ向きのドリフトという。Brown 運動そのもの（$b=0$）でも $b_*$ は $0$ でない。原点から出た粒子が今 $x>0$ にいると分かれば、少し前には原点の側にいた見込みが高く、過去から今への変位の平均は正になる。次の命題がこの差を定量化する。

証明

滑らかで台が有界な任意の関数 $g(x)$ について、$\mathrm E[(X(t)-X(t-\Delta t))\,g(X(t))]$ を2通りに計算する。定義 (7.5.5) から、これは $\Delta t\,\mathrm E[b_*(X(t),t)\,g(X(t))]+ o(\Delta t)$ である。一方、$X'=X(t-\Delta t)$、$\Delta X=X(t)-X'$ と書いて $g(X(t))=g(X')+g'(X')\Delta X+\mathcal{O}(\Delta X^2)$ と展開すると

$$\mathrm E[\Delta X\,g(X(t))]=\mathrm E[\Delta X\,g(X')]+\mathrm E[g'(X')\Delta X^2]+ o(\Delta t) =\Delta t\,\mathrm E[b\,g]+2\nu\Delta t\,\mathrm E[g']+ o(\Delta t).$$

第1項は時刻 $t-\Delta t$ から前向きに見た変位なので (7.5.2) が使え、第2項は $\mathrm E[\Delta X^2\mid X']=2\nu\Delta t$ を使った。$\mathrm E[g']=\int\rho g'\,\mathrm{d} x=-\int g\,\partial_x\rho\,\mathrm{d} x=-\mathrm E[g\,\partial_x\ln\rho]$ なので、2つを比べて$\mathrm E[(b_*-b+2\nu\partial_x\ln\rho)\,g]=0$ がすべての $g$ で成り立ち、(7.5.6) が従う。

浸透速度と流れの速度

前向きと後ろ向きのドリフトの半差と半和に名前を付ける。

$$u\coloneqq\frac{b-b_*}{2}=\nu\,\partial_x\ln\rho,\qquad v\coloneqq\frac{b+b_*}{2},\qquad b=v+u,\quad b_*=v-u .\tag{7.5.7}$$

$u$ を浸透速度（osmotic velocity）、$v$ を流れの速度（current velocity）という。$u$ は密度の対数の勾配だけで決まり、密度の高い方を向く。拡散は粒子を密度の低い方へ押し出すが、前向きのドリフトにはその分を打ち消す成分 $u$ が含まれていて、差し引きの正味の流れが $v$ である。実際、(7.5.4) に $b=v+u$ を入れると $u\rho=\nu\partial_x\rho$ により拡散項がちょうど消え、

$$\partial_t\rho+\partial_x(\rho v)=0\tag{7.5.8}$$

という連続の式になる。$v$ は確率の流れを密度で割った速度で、第7部第1章の速度場と同じ役を持つ。$u$ の記号は第7部第4章の弱値の虚部（第7部第4章）と同じで、$\nu=\hbar/(2m)$ のとき両者は一致する（第6節）。