量子力学の様々な構成方法 第7部 第5章 §7.5.2 ★★★ この構成の出発点の要請と、そこから Madelung 方程式と Schrödinger 方程式を導く同値性の証明
4つの要請
Nelson の確率過程量子化の要請 ★★★
質量 m m m V V V
(N1) 粒子の位置 X ( t ) X(t) X ( t ) (7.5.1) に従い、拡散係数は
ν = ℏ 2 m (7.5.9) \nu=\frac{\hbar}{2m}\tag{7.5.9} ν = 2 m ℏ ( 7.5.9 )
である。過程を逆向きに見ても拡散過程で、後ろ向きのドリフト b ∗ b_* b ∗ (N2) 前向きと後ろ向きの平均微分を対称に組んだ平均の加速度 が Newton の法則に従う。
m a = − ∇ V , a ≔ 1 2 ( D b ∗ + D ∗ b ) . (7.5.10) m\,a=-\nabla V,\qquad a\coloneqq\frac12\bigl(\mathrm D\,b_*+\mathrm D_*\,b\bigr).\tag{7.5.10} m a = − ∇ V , a : = 2 1 ( D b ∗ + D ∗ b ) . ( 7.5.10 )
ここで D \mathrm D D (7.5.3) 、D ∗ f = ( ∂ t + b ∗ ∂ x − ν ∂ x 2 ) f \mathrm D_*f=(\partial_t+b_*\partial_x-\nu\partial_x^2)f D ∗ f = ( ∂ t + b ∗ ∂ x − ν ∂ x 2 ) f (N3) 多次元では、流れの速度が勾配 v = ∇ S / m \bm{v}=\nabla S/m v = ∇ S / m (N4) 外から熱浴や摩擦は入らない。拡散は粒子に備わったもので、時間を逆にしても同じ形の法則が成り立つ。
(N2) の加速度の作り方には説明が要る。拡散過程の道筋は微分できないので、速度 X ˙ \dot X X ˙ X ¨ \ddot X X ¨ D X = b \mathrm DX=b D X = b D ∗ X = b ∗ \mathrm D_*X=b_* D ∗ X = b ∗ D \mathrm D D D ∗ \mathrm D_* D ∗ D D ∗ \mathrm D\mathrm D_* D D ∗ D ∗ D \mathrm D_*\mathrm D D ∗ D D ↔ − D ∗ \mathrm D\leftrightarrow-\mathrm D_* D ↔ − D ∗ b ↔ − b ∗ b\leftrightarrow-b_* b ↔ − b ∗ D D \mathrm D\mathrm D DD D ∗ D ∗ \mathrm D_*\mathrm D_* D ∗ D ∗
Newton の法則を流体の言葉に展開する
(7.5.10) を u u u v v v b ∗ = v − u b_*=v-u b ∗ = v − u b = v + u b=v+u b = v + u
D b ∗ = ∂ t ( v − u ) + ( v + u ) ( v − u ) ′ + ν ( v − u ) ′ ′ , D ∗ b = ∂ t ( v + u ) + ( v − u ) ( v + u ) ′ − ν ( v + u ) ′ ′ \begin{aligned}\mathrm D\,b_*&=\partial_t(v-u)+(v+u)(v-u)'+\nu(v-u)'',\\
\mathrm D_*\,b&=\partial_t(v+u)+(v-u)(v+u)'-\nu(v+u)''\end{aligned} D b ∗ D ∗ b = ∂ t ( v − u ) + ( v + u ) ( v − u ) ′ + ν ( v − u ) ′′ , = ∂ t ( v + u ) + ( v − u ) ( v + u ) ′ − ν ( v + u ) ′′
（′ ' ′ ∂ x \partial_x ∂ x ∂ t u \partial_tu ∂ t u ν v ′ ′ \nu v'' ν v ′′
a = ∂ t v + v v ′ − u u ′ − ν u ′ ′ (7.5.11) a=\partial_tv+vv'-uu'-\nu u''\tag{7.5.11} a = ∂ t v + v v ′ − u u ′ − ν u ′′ ( 7.5.11 )
が残る。もう1本の式は密度の時間発展から出る。u = ν ∂ x ln ρ u=\nu\partial_x\ln\rho u = ν ∂ x ln ρ (7.5.8) の ∂ t ln ρ = − v ′ − v ∂ x ln ρ \partial_t\ln\rho=-v'-v\,\partial_x\ln\rho ∂ t ln ρ = − v ′ − v ∂ x ln ρ
∂ t u = − ∂ x ( ν v ′ + u v ) (7.5.12) \partial_tu=-\partial_x\bigl(\nu v'+uv\bigr)\tag{7.5.12} ∂ t u = − ∂ x ( ν v ′ + uv ) ( 7.5.12 )
を得る。(7.5.8) と (7.5.12) は運動学（過程の定義）だけから出た式で、力学は (7.5.11) に入っている。
ここで、u u u
補題 7.5.2（浸透速度と量子ポテンシャル ★★★）
u = ν ∂ x ln ρ u=\nu\partial_x\ln\rho u = ν ∂ x ln ρ ν = ℏ / ( 2 m ) \nu=\hbar/(2m) ν = ℏ/ ( 2 m ) Q = − ℏ 2 2 m ∂ x 2 ρ ρ Q=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial_x^2\sqrt\rho}{\sqrt\rho} Q = − 2 m ℏ 2 ρ ∂ x 2 ρ
− Q m = u 2 2 + ν u ′ , u u ′ + ν u ′ ′ = − 1 m ∂ x Q . (7.5.13) -\frac{Q}{m}=\frac{u^2}{2}+\nu\,u',\qquad uu'+\nu u''=-\frac1m\,\partial_xQ .\tag{7.5.13} − m Q = 2 u 2 + ν u ′ , u u ′ + ν u ′′ = − m 1 ∂ x Q . ( 7.5.13 )
証明 ℓ = ln ρ \ell=\ln\rho ℓ = ln ρ ρ = e ℓ / 2 \sqrt\rho=\mathrm{e}^{\ell/2} ρ = e ℓ /2 ∂ x 2 e ℓ / 2 / e ℓ / 2 = 1 2 ℓ ′ ′ + 1 4 ℓ ′ 2 \partial_x^2\mathrm{e}^{\ell/2}/\mathrm{e}^{\ell/2}=\tfrac12\ell''+\tfrac14\ell'^2 ∂ x 2 e ℓ /2 / e ℓ /2 = 2 1 ℓ ′′ + 4 1 ℓ ′2 ℏ 2 / ( 2 m ) = 2 m ν 2 \hbar^2/(2m)=2m\nu^2 ℏ 2 / ( 2 m ) = 2 m ν 2 − Q / m = 2 ν 2 ( 1 2 ℓ ′ ′ + 1 4 ℓ ′ 2 ) = ν ( ν ℓ ′ ′ ) + 1 2 ( ν ℓ ′ ) 2 = ν u ′ + 1 2 u 2 -Q/m=2\nu^2(\tfrac12\ell''+\tfrac14\ell'^2)=\nu(\nu\ell'')+\tfrac12(\nu\ell')^2=\nu u'+\tfrac12u^2 − Q / m = 2 ν 2 ( 2 1 ℓ ′′ + 4 1 ℓ ′2 ) = ν ( ν ℓ ′′ ) + 2 1 ( ν ℓ ′ ) 2 = ν u ′ + 2 1 u 2 x x x u = ν ∇ ln ρ \bm{u}=\nu\nabla\ln\rho u = ν ∇ ln ρ ( u ⋅ ∇ ) u = ∇ ( ∣ u ∣ 2 / 2 ) (\bm{u}\cdot\nabla)\bm{u}=\nabla(\lvert \bm{u}\rvert ^2/2) ( u ⋅ ∇ ) u = ∇ (∣ u ∣ 2 /2 ) ( u ⋅ ∇ ) u + ν ∇ 2 u = − ∇ Q / m (\bm{u}\cdot\nabla)\bm{u}+\nu\nabla^2\bm{u}=-\nabla Q/m ( u ⋅ ∇ ) u + ν ∇ 2 u = − ∇ Q / m
補題を (7.5.11) に入れると、(N2) は
∂ t v + v v ′ = − 1 m ∂ x ( V + Q ) (7.5.14) \partial_tv+vv'=-\frac1m\,\partial_x(V+Q)\tag{7.5.14} ∂ t v + v v ′ = − m 1 ∂ x ( V + Q ) ( 7.5.14 )
になる。これは第7部第1章の量子 Euler 方程式そのものである。浸透速度の非線形項と拡散の項は、まとめて量子ポテンシャルの力の項になる。多次元では (N3) の v = ∇ S / m \bm{v}=\nabla S/m v = ∇ S / m ( v ⋅ ∇ ) v = ∇ ( ∣ v ∣ 2 / 2 ) (\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}=\nabla(\lvert \bm{v}\rvert ^2/2) ( v ⋅ ∇ ) v = ∇ (∣ v ∣ 2 /2 ) (7.5.14) の勾配を外して
∂ t S + ∣ ∇ S ∣ 2 2 m + V + Q = 0 (7.5.15) \partial_tS+\frac{\lvert \nabla S\rvert ^2}{2m}+V+Q=0\tag{7.5.15} ∂ t S + 2 m ∣ ∇ S ∣ 2 + V + Q = 0 ( 7.5.15 )
（積分定数の t t t S S S (7.5.8) と合わせて、Madelung 方程式がそろった。
同値性の定理
定理 7.5.3（Nelson の過程と Schrödinger 方程式 ★★★）
ν = ℏ / ( 2 m ) \nu=\hbar/(2m) ν = ℏ/ ( 2 m )
(i) （基準から過程へ）ψ = ρ e i S / ℏ \psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar} ψ = ρ e i S /ℏ i ℏ ∂ t ψ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + V ψ \mathrm{i}\hbar\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi i ℏ ∂ t ψ = − 2 m ℏ 2 ∇ 2 ψ + V ψ ρ > 0 \rho>0 ρ > 0
b = ∇ S m + ν ∇ ln ρ (7.5.16) \bm{b}=\frac{\nabla S}{m}+\nu\nabla\ln\rho\tag{7.5.16} b = m ∇ S + ν ∇ ln ρ ( 7.5.16 )
とした拡散過程を、初めの位置が ∣ ψ ( ⋅ , 0 ) ∣ 2 \lvert \psi(\cdot,0)\rvert ^2 ∣ ψ ( ⋅ , 0 ) ∣ 2 X ( t ) X(t) X ( t ) ∣ ψ ( ⋅ , t ) ∣ 2 \lvert \psi(\cdot,t)\rvert ^2 ∣ ψ ( ⋅ , t ) ∣ 2 (ii) （過程から基準へ）(N1)〜(N4) を満たす過程の密度 ρ \rho ρ S S S (7.5.8) ・(7.5.15) を満たす。さらに閉じた輪 C C C ∮ C ∇ S ⋅ d l ∈ 2 π ℏ Z \oint_C\nabla S\cdot\mathrm{d}\bm{l}\in2\pi\hbar\mathbb{Z} ∮ C ∇ S ⋅ d l ∈ 2 π ℏ Z ψ = ρ e i S / ℏ \psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar} ψ = ρ e i S /ℏ
証明 (i) 第7部第1章の Madelung 変換で、ρ \rho ρ S S S (7.5.16) の Fokker–Planck 方程式は∂ t p = − ∇ ⋅ ( b p ) + ν ∇ 2 p \partial_tp=-\nabla\cdot(\bm{b}p)+\nu\nabla^2p ∂ t p = − ∇ ⋅ ( b p ) + ν ∇ 2 p p = ρ p=\rho p = ρ ν ρ ∇ ln ρ = ν ∇ ρ \nu\rho\nabla\ln\rho=\nu\nabla\rho ν ρ ∇ ln ρ = ν ∇ ρ ∂ t ρ + ∇ ⋅ ( ρ ∇ S / m ) = 0 \partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\nabla S/m)=0 ∂ t ρ + ∇ ⋅ ( ρ ∇ S / m ) = 0 p = ρ p=\rho p = ρ 7.5.1 から u = ν ∇ ln ρ \bm{u}=\nu\nabla\ln\rho u = ν ∇ ln ρ v = ∇ S / m \bm{v}=\nabla S/m v = ∇ S / m 7.5.2 で逆にたどれば (7.5.11) の a a a − ∇ V / m -\nabla V/m − ∇ V / m
(ii) 前の小節の計算そのものである。最後の主張は、第7部第1章の同値性の定理（Madelung 方程式から ψ \psi ψ
定理の (ii) の後半の条件は、Nelson の要請からは出てこない。T. C. Wallstrom は、確率過程量子化が Schrödinger 方程式と同値になるには、流れの速度の循環を h / m h/m h / m 2 , 113–126；同 (1994), Physical Review A 49 , 1613）。第7部第1章で流体について見た事情が、そのまま過程にも当てはまる。もう1つの技術的な問題は、ψ \psi ψ ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 ν ∇ ln ρ \nu\nabla\ln\rho ν ∇ ln ρ 94 , 293–315）。
何が新しく、何が同じか
(i) と (ii) を合わせると、1粒子の Nelson の過程は、ある時刻の位置の分布について基準とまったく同じ予言をする。新しく加わったのは、各点の流れに拡散 ν = ℏ / ( 2 m ) \nu=\hbar/(2m) ν = ℏ/ ( 2 m ) u u u ∣ ψ ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2
例題 7.5.2 運動エネルギーを流れと浸透に分ける ★★
オリジナル 1次元の波動関数 ψ = ρ e i S / ℏ \psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar} ψ = ρ e i S /ℏ
運動量の2乗の期待値は ⟨ p ^ 2 ⟩ = m 2 ∫ ρ ( v 2 + u 2 ) d x \langle \hat p^2 \rangle =m^2\int\rho\,(v^2+u^2)\,\mathrm{d} x ⟨ p ^ 2 ⟩ = m 2 ∫ ρ ( v 2 + u 2 ) d x ∫ ρ Q d x = m 2 ∫ ρ u 2 d x \int\rho Q\,\mathrm{d} x=\frac m2\int\rho u^2\,\mathrm{d} x ∫ ρQ d x = 2 m ∫ ρ u 2 d x
幅 σ \sigma σ m 2 ⟨ u 2 ⟩ = ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) m^2\langle u^2 \rangle =\hbar^2/(4\sigma^2) m 2 ⟨ u 2 ⟩ = ℏ 2 / ( 4 σ 2 )
解答 (1) ψ ′ = ( 1 2 ℓ ′ + i S ′ / ℏ ) ψ \psi'=(\tfrac12\ell'+\mathrm{i} S'/\hbar)\psi ψ ′ = ( 2 1 ℓ ′ + i S ′ /ℏ ) ψ ℓ = ln ρ \ell=\ln\rho ℓ = ln ρ ∣ ψ ′ ∣ 2 = ρ ( 1 4 ℓ ′ 2 + S ′ 2 / ℏ 2 ) \lvert \psi'\rvert ^2=\rho(\tfrac14\ell'^2+S'^2/\hbar^2) ∣ ψ ′ ∣ 2 = ρ ( 4 1 ℓ ′2 + S ′2 / ℏ 2 ) ⟨ p ^ 2 ⟩ = ℏ 2 ∫ ∣ ψ ′ ∣ 2 \langle \hat p^2 \rangle =\hbar^2\int\lvert \psi'\rvert ^2 ⟨ p ^ 2 ⟩ = ℏ 2 ∫ ∣ ψ ′ ∣ 2 S ′ = m v S'=mv S ′ = m v ℏ ℓ ′ / 2 = m ⋅ 2 ν ℓ ′ / 2 = m u \hbar\ell'/2=m\cdot2\nu\ell'/2=mu ℏ ℓ ′ /2 = m ⋅ 2 ν ℓ ′ /2 = m u ⟨ p ^ 2 ⟩ = ∫ ρ ( m 2 v 2 + m 2 u 2 ) \langle \hat p^2 \rangle =\int\rho(m^2v^2+m^2u^2) ⟨ p ^ 2 ⟩ = ∫ ρ ( m 2 v 2 + m 2 u 2 ) 7.5.2 から ∫ ρ Q = − m ∫ ρ ( 1 2 u 2 + ν u ′ ) \int\rho Q=-m\int\rho(\tfrac12u^2+\nu u') ∫ ρQ = − m ∫ ρ ( 2 1 u 2 + ν u ′ ) ρ u = ν ρ ′ \rho u=\nu\rho' ρ u = ν ρ ′ ∫ ρ ν u ′ = − ν ∫ ρ ′ u = − ∫ ρ u 2 \int\rho\nu u'=-\nu\int\rho'u=-\int\rho u^2 ∫ ρ ν u ′ = − ν ∫ ρ ′ u = − ∫ ρ u 2 ∫ ρ Q = − m ( 1 2 − 1 ) ∫ ρ u 2 = m 2 ∫ ρ u 2 \int\rho Q=-m(\tfrac12-1)\int\rho u^2=\tfrac m2\int\rho u^2 ∫ ρQ = − m ( 2 1 − 1 ) ∫ ρ u 2 = 2 m ∫ ρ u 2 m 2 ⟨ v 2 ⟩ \tfrac m2\langle v^2 \rangle 2 m ⟨ v 2 ⟩ m 2 ⟨ u 2 ⟩ \tfrac m2\langle u^2 \rangle 2 m ⟨ u 2 ⟩
(2) ρ ∝ e − x 2 / ( 2 σ 2 ) \rho\propto\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)} ρ ∝ e − x 2 / ( 2 σ 2 ) u = − ν x / σ 2 u=-\nu x/\sigma^2 u = − ν x / σ 2 m 2 ⟨ u 2 ⟩ = m 2 ν 2 / σ 2 = ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) m^2\langle u^2 \rangle =m^2\nu^2/\sigma^2=\hbar^2/(4\sigma^2) m 2 ⟨ u 2 ⟩ = m 2 ν 2 / σ 2 = ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) v = 0 v=0 v = 0 ⟨ p ^ 2 ⟩ = ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) \langle \hat p^2 \rangle =\hbar^2/(4\sigma^2) ⟨ p ^ 2 ⟩ = ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) Δ x Δ p = σ ⋅ ℏ / ( 2 σ ) = ℏ / 2 \Delta x\Delta p=\sigma\cdot\hbar/(2\sigma)=\hbar/2 Δ x Δ p = σ ⋅ ℏ/ ( 2 σ ) = ℏ/2
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
