共通例題を拡散で解く

量子力学の様々な構成方法　第7部 第5章 §7.5.3　★★★ 共通例題①の基底状態が Ornstein–Uhlenbeck 過程になること、③の波束が「内向きのドリフト＋拡散」で広がること

① 基底状態：Ornstein–Uhlenbeck 過程

調和振動子 $V=m\omega^2x^2/2$ の基底状態 $\psi_0\propto\mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_{\mathrm g}^2)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}$、$\sigma_{\mathrm g}^2=\hbar/(2m\omega)$ を考える。密度は $\rho_0\propto\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma_{\mathrm g}^2)}$、位相 $S=-\hbar\omega t/2$ は $x$ によらないので $v=0$。浸透速度は

$$u=\nu\,\partial_x\ln\rho_0=-\frac{\nu}{\sigma_{\mathrm g}^2}x=-\omega x,\qquad b=-\omega x,\qquad \mathrm{d} X=-\omega X\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} W\tag{7.5.17}$$

で（$\nu/\sigma_{\mathrm g}^2=\omega$）、これは Ornstein–Uhlenbeck 過程（G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein (1930), Physical Review 36, 823–841）である。(N2) を確かめる：$v=0$ で (7.5.11) は $a=-uu'-\nu u''=-(-\omega x)(-\omega)-0=-\omega^2x$ で、$-V'/m$ に等しい。

Ornstein–Uhlenbeck 過程の性質を確かめる。(7.5.17) は線形なので解は$X(t)=\mathrm{e}^{-\omega t}X(0)+\int_0^t\mathrm{e}^{-\omega(t-s)}\mathrm{d} W(s)$ で、平均 $\mathrm{e}^{-\omega t}X(0)$、分散 $\nu(1-\mathrm{e}^{-2\omega t})/\omega$ のガウス分布に従う。$t\to\infty$ の分散は $\nu/\omega=\hbar/(2m\omega)=\sigma_{\mathrm g}^2$ で、基底状態の $\lvert \psi_0\rvert ^2$ の分散に一致する。定常な過程の2時刻の相関は

$$\mathrm E[X(0)X(t)]=\sigma_{\mathrm g}^2\,\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }\tag{7.5.18}$$

で、$1/\omega$ の時間で記憶を失う。粒子は原点の周りで揺れ続け、決して止まらない。Bohm の軌道（第7部第4章）では同じ基底状態の粒子が止まっていたのと対照的である。(7.5.18) を基準の2時刻の相関 $\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$ と比べる問題は、第7部第6章で扱う。

① 励起状態：節は越えられない

第1励起状態 $\psi_1\propto x\,\mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_{\mathrm g}^2)}$ では $\rho_1\propto x^2\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma_{\mathrm g}^2)}$、$v=0$ で

$$u_1=\nu\,\partial_x\ln\rho_1=\frac{2\nu}{x}-\omega x .\tag{7.5.19}$$

(N2) は $-u_1u_1'-\nu u_1''=-\omega^2x$ で成り立つ（$1/x^3$ の項が打ち消し合う。検算に入れた）。原点の近くのドリフトは $2\nu/x$ で節から外へ押し出す向きを持つ。$Y=X/\sqrt{2\nu}$ と置くと $\mathrm{d} Y\approx(1/Y)\mathrm{d} t+\mathrm{d} B$（$B$ は標準の Brown 運動）で、これは3次元の Brown 運動の動径と同じ形（次元3の Bessel 過程）なので、原点に到達しない。正の側から出た粒子はいつまでも正の側にいて、過程は2つの半直線に分かれる。第7部第1章の例題で、流体が節で2つの領域に切れ、両側の位相差が流体からは決まらないことを見た。Nelson の過程では、同じ事情が「節を越える道筋が無い」という形で現れる。

① コヒーレント状態：古典の振動と Ornstein–Uhlenbeck の揺れ

コヒーレント状態では密度が形を変えずに古典の軌道 $X_{\mathrm c}(t)$ に沿って動き、$\rho=\rho_0(x-X_{\mathrm c}(t))$、速度場は一様に $v=P_{\mathrm c}(t)/m$ である（第7部第4章のコヒーレント状態の軌道と同じ $X_{\mathrm c}$, $P_{\mathrm c}$）。浸透速度は $u=-\omega(x-X_{\mathrm c})$ なので

$$b=\frac{P_{\mathrm c}(t)}{m}-\omega\bigl(x-X_{\mathrm c}(t)\bigr),\qquad X(t)=X_{\mathrm c}(t)+\xi(t)\tag{7.5.20}$$

で、$\xi=X-X_{\mathrm c}$ は $\mathrm{d}\xi=-\omega\xi\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} W$ に従う（$\dot X_{\mathrm c}=P_{\mathrm c}/m$ を使った）。粒子は古典の振動に Ornstein–Uhlenbeck の揺れを重ねて動く。(N2) は $a=\partial_tv-uu'=\dot P_{\mathrm c}/m-\omega^2(x-X_{\mathrm c})=-\omega^2X_{\mathrm c}-\omega^2(x-X_{\mathrm c})=-\omega^2x$ で成り立つ。

③ 自由粒子の波束：内向きのドリフトと拡散の釣り合い

$k_0=0$ の自由ガウス波束を考える。第7部第1章で、密度はガウス分布のまま幅 $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/(2m\sigma_0))^2$ で広がり、速度場は $v=(\dot\sigma/\sigma)x$ であることを示した。$\hbar/(2m\sigma_0)=\nu/\sigma_0$ なので $\sigma^2=\sigma_0^2+\nu^2t^2/\sigma_0^2$、$\sigma\dot\sigma=\nu^2t/\sigma_0^2$ と書ける。浸透速度は $u=-\nu x/\sigma^2$ で、前向きのドリフトは

$$b=\frac{\sigma\dot\sigma-\nu}{\sigma^2}\,x=\frac{\nu}{\sigma^2}\Bigl(\frac{t}{t_*}-1\Bigr)x,\qquad t_*=\frac{\sigma_0^2}{\nu}=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{7.5.21}$$

である。$t<t_*$ ではドリフトは原点を向き（内向き）、$t>t_*$ で外向きに変わる。この $t_*$ は第1部第1章の波束の広がりの時間そのものである。

線形のドリフト $b=\beta(t)x$ を持つ過程では、分散 $s(t)=\mathrm E[X^2]$ は (7.5.3) を $f=x^2$ に当てた $\mathrm D(x^2)=2bx+2\nu$ から

$$\dot s=2\beta s+2\nu\tag{7.5.22}$$

に従う。$\beta=(\sigma\dot\sigma-\nu)/\sigma^2$、$s=\sigma^2$ を入れると右辺は $2(\sigma\dot\sigma-\nu)+2\nu=2\sigma\dot\sigma$ で、左辺 $\mathrm{d}\sigma^2/\mathrm{d} t$ に等しい。とくに $t=0$ では内向きのドリフトがちょうど拡散を打ち消して $\dot s=0$ になる。初めに位置と運動量の相関の無い波束の幅が $t^2$ で（$t$ の1次でなく）広がり始めるのは、この打ち消しの結果である。

同じ拡散係数の古典の Brown 運動（$b=0$）なら $s=\sigma_0^2+2\nu t$ で、幅は時間の平方根でしか広がらない。量子の波束の幅は長い時間で $\nu t/\sigma_0$ と時間に比例し、拡散でなく弾道的に広がる。Nelson の過程は拡散過程なのに弾道的に広がるのは、$t>t_*$ の外向きのドリフトが粒子を運ぶからである。