量子力学の様々な構成方法 第7部 第5章 §7.5.4 ★★★ 第7部第1章から回ってきた共通例題①の熱平衡を扱い、Nelson の過程で混合状態を書く方法と、その方法がアンサンブルの選び方に依存することを示す
1つの定常な過程では書けない
共通例題①の熱平衡状態 ρ ^ = e − β H ^ / Z \hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ = e − β H ^ / Z σ g 2 coth ( β ℏ ω / 2 ) \sigma_{\mathrm g}^2\coth(\beta\hbar\omega/2) σ g 2 coth ( β ℏ ω /2 ) 第4部第4章 ・第1部第1章の例題）。第7部第1章では、混合状態は1つの波動関数で書けないので、1つの流体 ( ρ , v ) (\rho,v) ( ρ , v )
命題 7.5.4（1つの定常な Nelson の過程は固有状態しか表せない ★★★）
1次元のポテンシャル V V V ρ > 0 \rho>0 ρ > 0 ρ v → 0 \rho v\to0 ρ v → 0 ∣ x ∣ → ∞ \lvert x\rvert \to\infty ∣ x ∣ → ∞ v = 0 v=0 v = 0 ρ \sqrt\rho ρ E E E ρ = ∣ ψ 0 ∣ 2 \rho=\lvert \psi_0\rvert ^2 ρ = ∣ ψ 0 ∣ 2 T > 0 T>0 T > 0
証明 連続の式 (7.5.8) で ∂ t ρ = 0 \partial_t\rho=0 ∂ t ρ = 0 ρ v \rho v ρ v x x x 0 0 0 v = 0 v=0 v = 0 7.5.2 から 0 = − ∂ x ( V + Q ) / m 0=-\partial_x(V+Q)/m 0 = − ∂ x ( V + Q ) / m V + Q = E V+Q=E V + Q = E Q Q Q − ℏ 2 2 m ( ρ ) ′ ′ + V ρ = E ρ -\frac{\hbar^2}{2m}(\sqrt\rho)''+V\sqrt\rho=E\sqrt\rho − 2 m ℏ 2 ( ρ ) ′′ + V ρ = E ρ ρ \sqrt\rho ρ ρ > 0 \sqrt\rho>0 ρ > 0 n n n n n n σ g 2 \sigma_{\mathrm g}^2 σ g 2 T > 0 T>0 T > 0 σ g 2 coth ( β ℏ ω / 2 ) \sigma_{\mathrm g}^2\coth(\beta\hbar\omega/2) σ g 2 coth ( β ℏ ω /2 )
熱平衡のガウス分布を定常分布に持つ拡散過程そのものは作れる。分散 s 2 = σ g 2 coth ( β ℏ ω / 2 ) s^2=\sigma_{\mathrm g}^2\coth(\beta\hbar\omega/2) s 2 = σ g 2 coth ( β ℏ ω /2 ) d X = − γ X d t + d W \mathrm{d} X=-\gamma X\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} W d X = − γ X d t + d W ν / γ = s 2 \nu/\gamma=s^2 ν / γ = s 2
γ = ω tanh β ℏ ω 2 (7.5.23) \gamma=\omega\tanh\frac{\beta\hbar\omega}{2}\tag{7.5.23} γ = ω tanh 2 β ℏ ω ( 7.5.23 )
と取ればよい。しかしこの過程の平均の加速度は a = − γ 2 x a=-\gamma^2x a = − γ 2 x − ω 2 x -\omega^2x − ω 2 x γ < ω \gamma<\omega γ < ω 柔らかい振動子の基底状態 を表していて、もとの振動子の熱平衡ではない。分布を合わせると力学が合わなくなる。
混合状態は過程の混合として書く
Nelson の構成で混合状態を書くには、ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ = ∑ k p k ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ \hat\rho=\sum_kp_k| \psi_k \rangle \langle \psi_k | ρ ^ = ∑ k p k ∣ ψ k ⟩ ⟨ ψ k ∣ ψ k \psi_k ψ k p k p_k p k ∑ k p k ∣ ψ k ∣ 2 = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ \sum_kp_k\lvert \psi_k\rvert ^2=\langle x | \hat\rho | x \rangle ∑ k p k ∣ ψ k ∣ 2 = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩
(A) 固有状態 ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ p n = ( 1 − e − β ℏ ω ) e − n β ℏ ω p_n=(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega})\mathrm{e}^{-n\beta\hbar\omega} p n = ( 1 − e − β ℏ ω ) e − n β ℏ ω n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 (B) コヒーレント状態を重み P ( α ) = e − ∣ α ∣ 2 / n ˉ / ( π n ˉ ) P(\alpha)=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\bar n}/(\pi\bar n) P ( α ) = e − ∣ α ∣ 2 / n ˉ / ( π n ˉ ) n ˉ = 1 / ( e β ℏ ω − 1 ) \bar n=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1) n ˉ = 1/ ( e β ℏ ω − 1 ) (7.5.20) の「古典の振動＋Ornstein–Uhlenbeck の揺れ」で、古典の振幅が熱的にばらつく。
どちらでも1時刻の分布は熱平衡のガウス分布になる。(B) では X = X c + ξ X=X_{\mathrm c}+\xi X = X c + ξ X c X_{\mathrm c} X c 2 n ˉ σ g 2 2\bar n\sigma_{\mathrm g}^2 2 n ˉ σ g 2 ξ \xi ξ σ g 2 \sigma_{\mathrm g}^2 σ g 2 σ g 2 ( 1 + 2 n ˉ ) = σ g 2 coth ( β ℏ ω / 2 ) \sigma_{\mathrm g}^2(1+2\bar n)=\sigma_{\mathrm g}^2\coth(\beta\hbar\omega/2) σ g 2 ( 1 + 2 n ˉ ) = σ g 2 coth ( β ℏ ω /2 ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ 第4部第3章 ）。ところが Nelson の道筋は、(A) と (B) で別物である。(A) では粒子は1つの固有状態の過程に閉じ込められ、(B) では古典の振動をする。1時刻の分布だけを見る限りこの違いは現れないが、多時刻の相関には現れる。この違いと、それが基準の予言とどう食い違うかは第7部第6章で扱う。
例題 7.5.4 熱平衡の分布に合わせた過程は、柔らかい振動子を表す ★★
オリジナル
β ℏ ω = 1 \beta\hbar\omega=1 β ℏ ω = 1 σ g 2 \sigma_{\mathrm g}^2 σ g 2 γ / ω \gamma/\omega γ / ω 例題 7.5.3 の 87 R b {}^{87}\mathrm{Rb} 87 Rb ω = 2 π × 100 H z \omega=2\pi\times100\,\mathrm{Hz} ω = 2 π × 100 Hz T = 10 n K T=10\,\mathrm{nK} T = 10 nK
(1) の過程の平均の加速度が − ω 2 x -\omega^2x − ω 2 x x x x a / ( − ω 2 x ) a/(-\omega^2x) a / ( − ω 2 x )
解答 (1) coth ( 1 / 2 ) = 2.164 \coth(1/2)=2.164 coth ( 1/2 ) = 2.164 2.164 σ g 2 2.164\,\sigma_{\mathrm g}^2 2.164 σ g 2 γ / ω = tanh ( 1 / 2 ) = 0.462 \gamma/\omega=\tanh(1/2)=0.462 γ / ω = tanh ( 1/2 ) = 0.462
(2) β ℏ ω = ℏ ω / ( k B T ) = 0.480 \beta\hbar\omega=\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)=0.480 β ℏ ω = ℏ ω / ( k B T ) = 0.480 coth ( 0.240 ) = 4.25 \coth(0.240)=4.25 coth ( 0.240 ) = 4.25 4.25 σ g = 1.57 μ m \sqrt{4.25}\,\sigma_{\mathrm g}=1.57\,\mu\mathrm m 4.25 σ g = 1.57 μ m σ g = 0.763 μ m \sigma_{\mathrm g}=0.763\,\mu\mathrm m σ g = 0.763 μ m γ / ω = tanh ( 0.240 ) = 0.235 \gamma/\omega=\tanh(0.240)=0.235 γ / ω = tanh ( 0.240 ) = 0.235
(3) a = − γ 2 x a=-\gamma^2x a = − γ 2 x ( γ / ω ) 2 (\gamma/\omega)^2 ( γ / ω ) 2 0.214 0.214 0.214 ω 2 \omega^2 ω 2 T → 0 T\to0 T → 0 tanh → 1 \tanh\to1 tanh → 1 1 1 1
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
