極形式：密度と位相

量子力学の様々な構成方法　第7部 第1章 §7.1.1　★★★ この部の基本の対象 $\rho$ と $\bm{v}$ を、波動関数の絶対値と位相の勾配として定義する

第7部では、量子力学を「流れる確率の流体」として組み立てる。第1部で置いた基準（状態ベクトルと演算子）から第1部第3章で位置表示の波動関数 $\psi(\bm{r},t)=\langle \bm{r} | \psi(t) \rangle$ を取り出したが（第1部第3章）、その複素数の関数を極形式 $\psi=\sqrt{\rho}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ に書くと、Schrödinger 方程式は実数の2本の式に分かれる。1本は確率密度 $\rho$ の連続の式で、もう1本は位相 $S$ についての Hamilton–Jacobi 方程式に、ポテンシャルのような項 $Q$ が1つ足された形をしている。$\bm{v}=\nabla S/m$ を速度場と読めば、2本目の勾配は渦なし流体の Euler 方程式になる。これが E. Madelung（1927）の見つけた書き直しで、足された項 $Q$ を量子ポテンシャルと呼ぶ。

この章は、部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、最初の3つと共通例題の一部を受け持つ。出発点に置くのは密度 $\rho$ と速度場 $\bm{v}$ の2つの場で、要請は連続の式と量子ポテンシャルつきの Euler 方程式である。第1節で極形式を定義し、第2節で Schrödinger 方程式を実部と虚部に分けて2本の式を導く。第3節では Euler 方程式を運動量の保存の形に直し、量子ポテンシャルが「量子圧力」という応力テンソルの発散であること、そのエネルギーが位置の Fisher 情報に比例することを示す。第4節が逆向きの同値で、流体の方程式に循環の量子化条件を足したときに限って波動関数が作り直せることを証明する。第5節で共通例題①（調和振動子の定常状態）と③（自由粒子の波束の広がり）を流体の言葉で解き、第6節で基準・位相空間（第5部）・解析力学との橋を並べる。$\hbar\to0$ で量子ポテンシャルを無視する話は次の章（第7部第2章）、渦の量子化と超流動は第3章、粒子の軌道（Bohm）は第4章、確率過程（Nelson）は第5章に回す。

極形式と Madelung 変換

1粒子（質量 $m$）の波動関数 $\psi(\bm{r},t)$ を考える。複素数は絶対値と偏角で書けるので、$\psi\neq0$ の点では

$$\psi(\bm{r},t)=\sqrt{\rho(\bm{r},t)}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S(\bm{r},t)/\hbar},\qquad \rho\ge0,\quad S\in\mathbb{R}\tag{7.1.1}$$

と書ける。$\rho=\lvert \psi\rvert ^2$ は第1部第2章の Born の規則で位置を見いだす確率密度そのものである。$S(\bm{r},t)$ は偏角に $\hbar$ を掛けたもので、作用と同じ次元（エネルギー × 時間）を持つ。$\hbar$ を掛けて定義する理由は、第2節で $S$ の従う式が古典力学の Hamilton の主関数 $S(\bm{r},t)$ の式とほぼ同じ形になることにある。

$S$ の値は一意でない。偏角は $2\pi$ の整数倍だけ不定なので、$S$ は $2\pi\hbar$ の整数倍だけ不定である。全体の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ を掛けても状態は変わらないので、定数の足し算も不定である。ところが勾配 $\nabla S$ はどちらの不定性にも影響されない。そこで、確率の流れの速さを表す速度場を

$$\bm{v}(\bm{r},t)=\frac{\nabla S}{m}=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\frac{\nabla\psi}{\psi}\tag{7.1.2}$$

で定義する。2つ目の等号は $\nabla\ln\psi=\nabla\ln\sqrt\rho+\mathrm{i}\nabla S/\hbar$ の虚部を取れば出る。確率流密度（確率の流れの密度）は

$$\bm{j}=\rho\bm{v}=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\nabla\psi)=\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}\bigl(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\bigr)\tag{7.1.3}$$

で、学部の量子力学で習う確率流密度の式と同じものである。

数えてみる：何を捨て、何が増えたか

$\psi$ は複素数1つ、つまり実数の場2つ分の情報を持つ。$(\rho,S)$ に分ければ実数の場がちょうど2つで、捨てた情報は $S$ の定数（全体の位相）だけである。ところが流体として $(\rho,\bm{v})$ を出発点に置くと、3次元では実数の場が $1+3=4$ 個に増える。$\bm{v}$ が勾配 $\nabla S/m$ である以上、

$$\nabla\times\bm{v}=0\qquad(\rho>0\ \text{の領域で})\tag{7.1.4}$$

が成り立たなければならず、これが増えた2個分を減らす。つまり、量子の流体は渦なしの流体に限られる。ただし $\rho=0$ になる点や線（波動関数の節）では偏角が定まらないので、節を囲む輪に沿って $\bm{v}$ を1周積分すると $0$ でない値が出てよい。その値がどう決まるかが、第4節の主題になる。