Feynman–Kac の公式：虚時間の時間発展を Brown 運動の期待値で書く

量子力学の様々な構成方法　第7部 第6章 §7.6.1　★★★ 経路積分（第3部）と確率過程（第7部）の合流点。虚時間の伝播は「ポテンシャルの高い所で消える Brown 運動」の期待値である

第7部第5章では、粒子の位置を拡散係数 $\nu=\hbar/(2m)$ の Markov の拡散過程に置き、平均の加速度に Newton の法則を課す Nelson の構成から、第7部第1章の Madelung 方程式を導いた（第7部第5章）。同じ章の最後で、基底状態の過程の推移が虚時間の時間発展を $\psi_0$ で変換したものに等しいこと（基底状態の変換）を示し、それを一般の場合へ広げる仕事と、多時刻の相関が基準と食い違う問題とを、この章へ回した。第3部第6章も、虚時間の経路積分が Wiener 測度の上の期待値として厳密に定義できること（Feynman–Kac の公式）を述べ、その確率過程の言葉での読み方をこの章へ送っている（第3部第6章）。

部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は第7部の「経路積分との合流」と「限界」を受け持つ。第1節で Feynman–Kac の公式を Brown 運動の期待値として述べ、Trotter の積公式と Markov 性から証明する。第2節で、Feynman–Kac の重みを確率過程の確率法則に移す Doob の変換を置き、Nelson の基底状態の過程と励起状態の過程がこの変換で得られること、逆に過程からハミルトニアンを取り戻せることを示す。第3節が第7部第5章から回ってきた本題で、Nelson の過程の2時刻の相関（共通例題①の基底状態で $\sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }$）が基準の相関（実部が $\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$）と一致しないことを、Doob の定理（定常な Gauss の Markov 過程の相関は指数関数に限る）で構造から説明し、励起状態と熱平衡でも比べる。第4節では、位置の測定を途中に入れると、Nelson の過程の予言が基準と一致することを、分解能のある測定の模型で計算する。第5節で残りの限界（多粒子の過程が配置空間に住むこと・スピン・節の特異性）を整理し、第6節の橋で、各構成の2時刻の相関を1つの表に並べて、「Nelson の実時間は基準の虚時間である」という対応を両向きに示す。

記号は第7部第5章に揃える。Brown 運動 $W$ は $\langle \mathrm{d} W^2 \rangle =2\nu\,\mathrm{d} t$、$\nu=\hbar/(2m)$ を満たし（第3部第6章の拡散係数 $D=\hbar/(2m)$ と同じもの）、確率過程の期待値は立体の $\mathrm E$ で書く。$\sigma_{\mathrm g}^2=\hbar/(2m\omega)$ は調和振動子の基底状態の位置の分散である。

自由な部分は Brown 運動の推移

1次元のハミルトニアン $\hat H=\hat T+V(\hat x)$、$\hat T=\hat p^2/(2m)$ を考える。まず自由な部分の虚時間の時間発展 $\mathrm{e}^{-\hat T\tau/\hbar}$ を確率過程の言葉で読む。位置表示で $\hat T/\hbar=-(\hbar/2m)\partial_x^2=-\nu\partial_x^2$ なので、$f_\tau=\mathrm{e}^{-\hat T\tau/\hbar}f$ は熱方程式 $\partial_\tau f_\tau=\nu\partial_x^2f_\tau$ の解で、その核は

$$\langle x | \mathrm{e}^{-\hat T\tau/\hbar} | x' \rangle =\frac{1}{\sqrt{4\pi\nu\tau}}\exp\Bigl(-\frac{(x-x')^2}{4\nu\tau}\Bigr)\tag{7.6.1}$$

である（第3部第6章の熱核と同じもの）。右辺は、$x$ を出た Brown 運動 $W$（$\langle \mathrm{d} W^2 \rangle =2\nu\,\mathrm{d} t$）の時刻 $\tau$ での位置の分布、すなわち平均 $x$・分散 $2\nu\tau$ のガウス分布の密度に等しい。核が $x$ と $x'$ について対称なので、どちらを出発点と読んでもよく、

$$\bigl(\mathrm{e}^{-\hat T\tau/\hbar}f\bigr)(x)=\mathrm E_x\bigl[f(W_\tau)\bigr]\tag{7.6.2}$$

と書ける。ここで $\mathrm E_x$ は $W_0=x$ から出た Brown 運動についての期待値である。量子力学の運動エネルギーは、虚時間では拡散の生成作用素になる。第7部の拡散係数 $\nu=\hbar/(2m)$ は Nelson の要請として置いたものだったが、ここでは $\hat T$ から自動的に出てくる。

公式と証明

証明

$\epsilon=\tau/P$ と置く。下に有界な $V$ と $\hat T\ge0$ について Trotter の積公式（第3部第6章で縮小半群の形で使ったもの）$\mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar}f=\lim_{P\to\infty}\bigl(\mathrm{e}^{-\hat T\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-V\epsilon/\hbar}\bigr)^Pf$ が成り立つ。右辺の $P$ 個の積を、内側から順に (7.6.2) で書き直す。最も内側は $\mathrm{e}^{-\hat T\epsilon/\hbar}(\mathrm{e}^{-V\epsilon/\hbar}f)(y)=\mathrm E_y[\mathrm{e}^{-\epsilon V(W_\epsilon)/\hbar}f(W_\epsilon)]$ である。次の段では、時刻 $\epsilon$ の位置 $W_\epsilon$ から出た Brown 運動がさらに $\epsilon$ だけ進むと考える。Brown 運動の増分は過去と独立（Markov 性）なので、条件付き期待値を重ねたものは1本の Brown 運動の期待値にまとまり、

$$\bigl(\mathrm{e}^{-\hat T\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-V\epsilon/\hbar}\bigr)^Pf(x)=\mathrm E_x\Bigl[\exp\Bigl(-\frac\epsilon\hbar\sum_{k=1}^{P}V(W_{k\epsilon})\Bigr)f(W_\tau)\Bigr]$$

となる。Brown 運動の経路は連続なので、$P\to\infty$ で指数の中の和は Riemann 和として $\int_0^\tau V(W_s)\mathrm{d} s$ に収束する。被積分関数は $V\ge-c$ から$\mathrm{e}^{c\tau/\hbar}\sup\lvert f\rvert$ で押さえられるので、有界収束定理で極限と期待値を入れ替えてよい。核の形は、終点 $W_\tau$ の分布 (7.6.1) で条件を付けて書き直したものである。

右辺の期待値の中には、もう振動する位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ は無い。運動項 $\frac m2\dot x^2$ は Brown 運動の測度の中に入り、残るのはポテンシャルの重みだけである。重み $\mathrm{e}^{-\int V\mathrm{d} s/\hbar}$ は「ポテンシャル $V$ の高い所では、単位時間あたり $V/\hbar$ の割合で粒子が消える」と読める（$V<0$ の所では増える）。虚時間の時間発展は、消える割合 $V/\hbar$ を持つ Brown 運動の、生き残った分の期待値である。第3部第7章が述べたとおり、Coulomb ポテンシャルのように下に有界でない $V$ についても、Kato 類という条件のもとで同じ式が成り立つ（第3部第7章）。

基底エネルギーを確率で読む

$f=1$ と置き、基底状態 $\psi_0$（エネルギー $E_0$、$\psi_0>0$）がスペクトルの底で孤立しているとする。$\mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar}1$ をスペクトル分解すると、$\tau\to\infty$ で残るのは $\mathrm{e}^{-E_0\tau/\hbar}\psi_0(x)\langle \psi_0 | 1 \rangle$ の項である（$\langle \psi_0 | 1 \rangle =\int\psi_0\mathrm{d} x$ が有限で正のとき）。したがって

$$E_0=-\lim_{\tau\to\infty}\frac\hbar\tau\ln\mathrm E_x\Bigl[\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_0^\tau V(W_s)\,\mathrm{d} s\Bigr)\Bigr]\tag{7.6.4}$$

が成り立つ。左辺は基準のスペクトルの量、右辺は Brown 運動の生き残りの確率の減り方で、どちらも同じ数を与える。拡散モンテカルロ法などの数値計算はこの式を出発点にしている。