量子力学の様々な構成方法 第7部 第6章 §7.6.2 ★★★ 消える Brown 運動を、正の固有関数で重みを付け直すと消えない拡散過程になり、それが Nelson の固有状態の過程である。経路積分と Nelson の過程の橋の本体
変換の定義
Feynman–Kac の公式の右辺の期待値は、粒子が消えていくので確率測度の期待値ではない（f = 1 f=1 f = 1 1 1 1 ψ 0 \psi_0 ψ 0 h h h 85 , 431–458）。
命題 7.6.2（Doob の変換 ★★★）
H ^ ψ 0 = E 0 ψ 0 \hat H\psi_0=E_0\psi_0 H ^ ψ 0 = E 0 ψ 0 ψ 0 > 0 \psi_0>0 ψ 0 > 0 x x x
M τ = ψ 0 ( W τ ) ψ 0 ( x ) exp ( E 0 τ ℏ − 1 ℏ ∫ 0 τ V ( W s ) d s ) (7.6.5) M_\tau=\frac{\psi_0(W_\tau)}{\psi_0(x)}\exp\Bigl(\frac{E_0\tau}{\hbar}-\frac1\hbar\int_0^\tau V(W_s)\,\mathrm{d} s\Bigr)\tag{7.6.5} M τ = ψ 0 ( x ) ψ 0 ( W τ ) exp ( ℏ E 0 τ − ℏ 1 ∫ 0 τ V ( W s ) d s ) ( 7.6.5 )
を考える。このとき E x [ M τ ] = 1 \mathrm E_x[M_\tau]=1 E x [ M τ ] = 1 M τ M_\tau M τ W W W
p τ ( x → y ) = ψ 0 ( y ) ψ 0 ( x ) e E 0 τ / ℏ ⟨ y ∣ e − H ^ τ / ℏ ∣ x ⟩ , (7.6.6) p_\tau(x\to y)=\frac{\psi_0(y)}{\psi_0(x)}\,\mathrm{e}^{E_0\tau/\hbar}\langle y | \mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar} | x \rangle ,\tag{7.6.6} p τ ( x → y ) = ψ 0 ( x ) ψ 0 ( y ) e E 0 τ /ℏ ⟨ y ∣ e − H ^ τ /ℏ ∣ x ⟩ , ( 7.6.6 )
生成作用素は第7部第5章の L f = ν f ′ ′ + 2 ν ( ψ 0 ′ / ψ 0 ) f ′ \mathcal Lf=\nu f''+2\nu(\psi_0'/\psi_0)f' L f = ν f ′′ + 2 ν ( ψ 0 ′ / ψ 0 ) f ′
証明 (7.6.3) に f = ψ 0 f=\psi_0 f = ψ 0 e − H ^ τ / ℏ ψ 0 = e − E 0 τ / ℏ ψ 0 \mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar}\psi_0=\mathrm{e}^{-E_0\tau/\hbar}\psi_0 e − H ^ τ /ℏ ψ 0 = e − E 0 τ /ℏ ψ 0 E x [ ψ 0 ( W τ ) e − ∫ V d s / ℏ ] = e − E 0 τ / ℏ ψ 0 ( x ) \mathrm E_x[\psi_0(W_\tau)\mathrm{e}^{-\int V\mathrm{d} s/\hbar}]=\mathrm{e}^{-E_0\tau/\hbar}\psi_0(x) E x [ ψ 0 ( W τ ) e − ∫ V d s /ℏ ] = e − E 0 τ /ℏ ψ 0 ( x ) e − E 0 τ / ℏ ψ 0 ( x ) \mathrm{e}^{-E_0\tau/\hbar}\psi_0(x) e − E 0 τ /ℏ ψ 0 ( x ) E x [ M τ ] = 1 \mathrm E_x[M_\tau]=1 E x [ M τ ] = 1 y y y 7.6.1 の核の形を使えば (7.6.6) になる。Chapman–Kolmogorov の式 ∫ p τ 1 ( x → z ) p τ 2 ( z → y ) d z = p τ 1 + τ 2 ( x → y ) \int p_{\tau_1}(x\to z)p_{\tau_2}(z\to y)\mathrm{d} z=p_{\tau_1+\tau_2}(x\to y) ∫ p τ 1 ( x → z ) p τ 2 ( z → y ) d z = p τ 1 + τ 2 ( x → y ) ψ 0 ( z ) \psi_0(z) ψ 0 ( z ) e − H ^ τ / ℏ \mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar} e − H ^ τ /ℏ τ → 0 \tau\to0 τ → 0 ∂ τ \partial_\tau ∂ τ ∂ τ p τ = ψ 0 ( y ) ψ 0 ( x ) − 1 e E 0 τ / ℏ ( E 0 − H ^ ) / ℏ \partial_\tau p_\tau=\psi_0(y)\psi_0(x)^{-1}\mathrm{e}^{E_0\tau/\hbar}(E_0-\hat H)/\hbar ∂ τ p τ = ψ 0 ( y ) ψ 0 ( x ) − 1 e E 0 τ /ℏ ( E 0 − H ^ ) /ℏ f f f L f = − ℏ − 1 ψ 0 − 1 ( H ^ − E 0 ) ( ψ 0 f ) \mathcal Lf=-\hbar^{-1}\psi_0^{-1}(\hat H-E_0)(\psi_0f) L f = − ℏ − 1 ψ 0 − 1 ( H ^ − E 0 ) ( ψ 0 f ) 第7部第5章 ）により、これは ν f ′ ′ + 2 ν ( ψ 0 ′ / ψ 0 ) f ′ \nu f''+2\nu(\psi_0'/\psi_0)f' ν f ′′ + 2 ν ( ψ 0 ′ / ψ 0 ) f ′
ドリフトの項 2 ν ψ 0 ′ / ψ 0 = ν ∂ x ln ψ 0 2 2\nu\psi_0'/\psi_0=\nu\partial_x\ln\psi_0^2 2 ν ψ 0 ′ / ψ 0 = ν ∂ x ln ψ 0 2 u u u v = 0 v=0 v = 0 b = v + u b=v+u b = v + u ψ 0 \psi_0 ψ 0 ( V − E 0 ) / ℏ (V-E_0)/\hbar ( V − E 0 ) /ℏ ψ 0 \psi_0 ψ 0 ν ψ 0 ′ ′ = ( V − E 0 ) ψ 0 / ℏ \nu\psi_0''=(V-E_0)\psi_0/\hbar ν ψ 0 ′′ = ( V − E 0 ) ψ 0 /ℏ
例題 7.6.2 Mehler 核から Ornstein–Uhlenbeck 過程の推移密度を作る ★★
オリジナル 共通例題①の基底状態 ψ 0 ∝ e − x 2 / ( 4 σ g 2 ) \psi_0\propto\mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_{\mathrm g}^2)} ψ 0 ∝ e − x 2 / ( 4 σ g 2 ) E 0 = ℏ ω / 2 E_0=\hbar\omega/2 E 0 = ℏ ω /2 (7.6.6) に例題 7.6.1 の Euclid の Mehler 核を入れ、p τ ( x → y ) p_\tau(x\to y) p τ ( x → y ) x e − ω τ x\mathrm{e}^{-\omega\tau} x e − ω τ σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) \sigma_{\mathrm g}^2(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau}) σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ )
解答 c = cosh ω τ c=\cosh\omega\tau c = cosh ω τ s = sinh ω τ s=\sinh\omega\tau s = sinh ω τ κ = m ω / ℏ = 1 / ( 2 σ g 2 ) \kappa=m\omega/\hbar=1/(2\sigma_{\mathrm g}^2) κ = mω /ℏ = 1/ ( 2 σ g 2 ) (7.6.6) の指数は
− κ 2 ( y 2 − x 2 ) + ω τ 2 − κ 2 s [ ( x 2 + y 2 ) c − 2 x y ] -\frac\kappa2\bigl(y^2-x^2\bigr)+\frac{\omega\tau}{2}-\frac{\kappa}{2s}\bigl[(x^2+y^2)c-2xy\bigr] − 2 κ ( y 2 − x 2 ) + 2 ω τ − 2 s κ [ ( x 2 + y 2 ) c − 2 x y ]
で、第1項が ψ 0 ( y ) / ψ 0 ( x ) \psi_0(y)/\psi_0(x) ψ 0 ( y ) / ψ 0 ( x ) e E 0 τ / ℏ \mathrm{e}^{E_0\tau/\hbar} e E 0 τ /ℏ y y y − κ 2 ( 1 + c / s ) = − κ 2 s + c s = − κ 2 e ω τ s -\frac\kappa2(1+c/s)=-\frac{\kappa}{2}\frac{s+c}{s}=-\frac{\kappa}{2}\frac{\mathrm{e}^{\omega\tau}}{s} − 2 κ ( 1 + c / s ) = − 2 κ s s + c = − 2 κ s e ω τ x y xy x y κ / s \kappa/s κ / s x 2 x^2 x 2 κ 2 ( 1 − c / s ) = − κ 2 e − ω τ s \frac\kappa2(1-c/s)=-\frac{\kappa}{2}\frac{\mathrm{e}^{-\omega\tau}}{s} 2 κ ( 1 − c / s ) = − 2 κ s e − ω τ 2 s = e ω τ ( 1 − e − 2 ω τ ) 2s=\mathrm{e}^{\omega\tau}(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau}) 2 s = e ω τ ( 1 − e − 2 ω τ )
− κ e ω τ 2 s ( y − x e − ω τ ) 2 = − ( y − x e − ω τ ) 2 2 σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) -\frac{\kappa\,\mathrm{e}^{\omega\tau}}{2s}\bigl(y-x\mathrm{e}^{-\omega\tau}\bigr)^2=-\frac{(y-x\mathrm{e}^{-\omega\tau})^2}{2\sigma_{\mathrm g}^2(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau})} − 2 s κ e ω τ ( y − x e − ω τ ) 2 = − 2 σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) ( y − x e − ω τ ) 2
にまとまる（κ e ω τ / s = 2 κ / ( 1 − e − 2 ω τ ) \kappa\mathrm{e}^{\omega\tau}/s=2\kappa/(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau}) κ e ω τ / s = 2 κ / ( 1 − e − 2 ω τ ) κ / ( π s ) e ω τ / 2 = 2 κ e ω τ / ( 2 π s ) = [ 2 π σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) ] − 1 / 2 \sqrt{\kappa/(\pi s)}\,\mathrm{e}^{\omega\tau/2}=\sqrt{2\kappa\mathrm{e}^{\omega\tau}/(2\pi s)}=[2\pi\sigma_{\mathrm g}^2(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau})]^{-1/2} κ / ( π s ) e ω τ /2 = 2 κ e ω τ / ( 2 π s ) = [ 2 π σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) ] − 1/2 p τ p_\tau p τ x e − ω τ x\mathrm{e}^{-\omega\tau} x e − ω τ σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ ) \sigma_{\mathrm g}^2(1-\mathrm{e}^{-2\omega\tau}) σ g 2 ( 1 − e − 2 ω τ )
平均の短時間の変化は x ( e − ω τ − 1 ) ≈ − ω x τ x(\mathrm{e}^{-\omega\tau}-1)\approx-\omega x\tau x ( e − ω τ − 1 ) ≈ − ω xτ − ω x -\omega x − ω x σ g 2 ⋅ 2 ω τ = ( ℏ / m ) τ = 2 ν τ \sigma_{\mathrm g}^2\cdot2\omega\tau=(\hbar/m)\tau=2\nu\tau σ g 2 ⋅ 2 ω τ = ( ℏ/ m ) τ = 2 ν τ d X = − ω X d t + d W \mathrm{d} X=-\omega X\mathrm{d} t+\mathrm{d} W d X = − ω X d t + d W ψ 0 \psi_0 ψ 0 − ω x -\omega x − ω x
逆向き：過程からハミルトニアンを取り戻す
(7.6.6) は逆にも読める。基底状態の Nelson の過程の推移密度 p τ p_\tau p τ ρ 0 = ψ 0 2 \rho_0=\psi_0^2 ρ 0 = ψ 0 2
⟨ y ∣ e − H ^ τ / ℏ ∣ x ⟩ = e − E 0 τ / ℏ ρ 0 ( x ) ρ 0 ( y ) p τ ( x → y ) (7.6.7) \langle y | \mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar} | x \rangle =\mathrm{e}^{-E_0\tau/\hbar}\sqrt{\frac{\rho_0(x)}{\rho_0(y)}}\;p_\tau(x\to y)\tag{7.6.7} ⟨ y ∣ e − H ^ τ /ℏ ∣ x ⟩ = e − E 0 τ /ℏ ρ 0 ( y ) ρ 0 ( x ) p τ ( x → y ) ( 7.6.7 )
で虚時間の核が決まり、τ \tau τ H ^ \hat H H ^ E 0 E_0 E 0 E 0 E_0 E 0 ψ 0 \psi_0 ψ 0
励起状態：節で区切られた領域ごとの Doob の変換
励起状態 ψ n \psi_n ψ n (7.6.5) に使えない。ψ n \psi_n ψ n 0 0 0 D D D D D D ψ n \psi_n ψ n D D D 0 0 0 D D D 0 0 0 H ^ D \hat H_D H ^ D ψ n ∣ D \psi_n|_D ψ n ∣ D H ^ D \hat H_D H ^ D E n E_n E n H ^ D \hat H_D H ^ D (7.6.3) の Brown 運動を「D D D ψ n ∣ D \psi_n|_D ψ n ∣ D D D D 2 ν ∇ ψ n / ψ n 2\nu\nabla\psi_n/\psi_n 2 ν ∇ ψ n / ψ n ψ n \psi_n ψ n 0 0 0 2 ν / ( 距離 ) 2\nu/(\text{距離}) 2 ν / ( 距離 ) D D D
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
