多時刻の相関：基準の $\cos\omega t$ と Nelson の $\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }$

量子力学の様々な構成方法　第7部 第6章 §7.6.3　★★★ 第7部第5章から回ってきた食い違いの本体。Nelson の過程は位置だけの Markov 過程なので相関が振動できない、という構造で説明する

基準の2時刻の相関は確率分布の相関でない

共通例題①の基底状態で、基準の2時刻の相関関数を計算する。Heisenberg 描像の位置は $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x\cos\omega t+\hat p\sin\omega t/(m\omega)$（第2部第3章）で、$\hat x=\sigma_{\mathrm g}(\hat a+\hat a^\dagger)$ から

$$C(t)=\langle 0 | \hat x_{\mathrm H}(t)\,\hat x | 0 \rangle =\sigma_{\mathrm g}^2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t},\qquad \operatorname{Re} C(t)=\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t,\qquad \langle 0 | \left[\hat x,\,\hat x_{\mathrm H}(t)\right] | 0 \rangle =\frac{\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}{m\omega}\tag{7.6.8}$$

となる。$C(t)$ は複素数で、虚部は2つの時刻の位置が交換しないことの表れである（$\left[\hat x,\,\hat x_{\mathrm H}(t)\right]=-2\mathrm{i}\operatorname{Im} C(t)$）。したがって $C(t)$ は「2つの時刻の位置の同時分布」の相関ではありえない。同時分布の相関なら実数になるからである。実数の部分 $\operatorname{Re} C(t)=\frac12\langle \{\hat x,\hat x_{\mathrm H}(t)\}_+ \rangle$（対称化した相関）だけが、古典の確率過程の相関と比べられる候補になる。

Nelson の基底状態の過程（Ornstein–Uhlenbeck 過程）の2時刻の相関は、第7部第5章で求めたとおり $\mathrm E[X(0)X(t)]=\sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }$ である。等しい時刻では $\sigma_{\mathrm g}^2$ で一致するが、時間が経つと基準の対称化した相関は振動を続け、Nelson の相関は単調に $0$ へ減る。たとえば $\omega t=\pi$ では基準が $-\sigma_{\mathrm g}^2$、Nelson が $0.043\,\sigma_{\mathrm g}^2$ である。この食い違いは Nelson 自身が指摘し（E. Nelson (1985), Quantum Fluctuations, Princeton University Press）、それより前に H. Grabert, P. Hänggi, P. Talkner は、量子力学の多時刻の相関を再現する古典の確率過程は無いことを論じていた（H. Grabert, P. Hänggi and P. Talkner (1979), Physical Review A 19, 2440–2445）。

なぜ振動できないか：Doob の定理

食い違いは偶然ではなく、Nelson の過程が「位置だけの Markov 過程」であることによる。

証明

平均 $0$ の Gauss 分布では条件付き期待値は線形で、定常性から $\mathrm E[X(t+s)\mid X(s)]=r(t)X(s)$、$r(t)=C_X(t)/C_X(0)$ である。$t,s\ge0$ として、Markov 性から$\mathrm E[X(t+s)\mid X(0)]=\mathrm E\bigl[\mathrm E[X(t+s)\mid X(s)]\mid X(0)\bigr]=r(t)\,\mathrm E[X(s)\mid X(0)]=r(t)r(s)X(0)$。左辺は $r(t+s)X(0)$ なので$r(t+s)=r(t)r(s)$ で、$r(0)=1$ の連続な解は $r(t)=\mathrm{e}^{-\gamma t}$ に限る（$\lvert r\rvert \le1$ から $\gamma\ge0$）。もし $r(t_*)=0$ となる $t_*$ があれば、$r(t_*/2)^2=0$ を繰り返して $r$ が $0$ の近くで $0$ になり、連続性に反する。$\cos\omega t$ は $\omega t=\pi/2$ で $0$ になるので除かれる。

この命題は J. L. Doob が Ornstein–Uhlenbeck 過程の厳密な理論の中で示したもので（J. L. Doob (1942), Annals of Mathematics 43, 351–369）、「Doob の定理」と呼ばれる。一方、$\cos\omega t$ を相関に持つ定常な Gauss 過程そのものは存在する。振幅がガウス分布でばらつく古典の振動 $X(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t$（$A$, $B$ は独立で同じ分散）がそれで、この過程は位置 $X$ だけでは Markov でないが、位置と運動量の組 $(X,P)$ では決定論的な（したがって Markov の）過程になる。基準の対称化した相関 $\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$ を出すには、位置の現在の値だけでなく運動量の情報を保持する必要がある。Nelson の過程は運動量を確率変数として持たず、各時刻の速度場 $b(x,t)$ を通してしか運動量の情報を使わないので、定常な状態では過去の運動の向きを保持できない。第5部の Wigner 関数は $(x,p)$ の上の分布なので、この制約を受けない（第6節）。

励起状態：節が相関を残す

熱平衡：(A) と (B) の道筋の違いが相関に現れる

第7部第5章で、熱平衡の調和振動子 $\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ を Nelson の過程で書くには、(A) 固有状態の過程の混合か、(B) コヒーレント状態の過程の混合を使うと述べ、2つは1時刻の分布では区別できないが、多時刻の相関で違うと予告した。$\bar n=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ と書いて相関を並べる。

基準の対称化した相関は、$\hat x| n \rangle =\sigma_{\mathrm g}(\sqrt n| n-1 \rangle +\sqrt{n+1}| n+1 \rangle )$ を熱平均して$\operatorname{Re}\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat x_{\mathrm H}(t)\hat x)=\sigma_{\mathrm g}^2(2\bar n+1)\cos\omega t$ である。(B) では $X=X_{\mathrm c}+\xi$ で、古典の振動 $X_{\mathrm c}$（振幅の分散 $2\bar n\sigma_{\mathrm g}^2$）と Ornstein–Uhlenbeck の揺れ $\xi$ は独立なので、

$$\mathrm E_{\mathrm B}[X(0)X(t)]=\sigma_{\mathrm g}^2\bigl(2\bar n\cos\omega t+\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }\bigr),\qquad \mathrm E_{\mathrm B}[X(0)X(t)]-\operatorname{Re}\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat x_{\mathrm H}(t)\hat x)=\sigma_{\mathrm g}^2\bigl(\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }-\cos\omega t\bigr)\tag{7.6.10}$$

となる。差は温度によらず、零点の揺らぎの部分だけである。熱的な部分 $2\bar n\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$ は、コヒーレント状態の中心が古典の軌道を描くので正しく出る。食い違うのは、各コヒーレント状態の中の零点の揺らぎ $\xi$ の相関で、そこには基底状態の食い違いがそのまま持ち込まれる。第7部第4章の総合問題で求めた Bohm の軌道の (B) の相関は $\sigma_{\mathrm g}^2(2\bar n\cos\omega t+1)$ で（第7部第4章）、零点の部分は「止まっている粒子」の $1$ になっていた。3つの違いは零点の部分の時間の関数だけで、基準は $\cos\omega t$、Bohm は $1$、Nelson は $\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }$ である。

(A) では、各成分 $| n \rangle$ の過程の相関 $C_n(t)$ を重み $p_n=(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega})\mathrm{e}^{-n\beta\hbar\omega}$ で足す。$t=0$ では $\sigma_{\mathrm g}^2(2\bar n+1)$ で他と一致するが、$t\to\infty$ では各成分が節の領域 $D$ の中に閉じ込められるので、$C_n(\infty)=\sum_D\Pr(D)\,\mathrm E[X\mid D]^2$ が残る（例題 7.6.3 の $8\sigma_{\mathrm g}^2/\pi$ の一般化）。数値で足すと、$\beta\hbar\omega=1$ で $\sum_np_nC_n(\infty)=1.387\,\sigma_{\mathrm g}^2$ で、相関は $2.164\,\sigma_{\mathrm g}^2$ から $1.387\,\sigma_{\mathrm g}^2$ へ減って止まる。

温度が高いと $\bar n$ が大きくなり、(7.6.10) の差 $\sigma_{\mathrm g}^2(\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert }-\cos\omega t)$ は、相関の大きさ $\sigma_{\mathrm g}^2(2\bar n+1)$ に比べて相対的に$2/(2\bar n+1)=2\tanh(\beta\hbar\omega/2)$ 以下になる。$k_{\mathrm B} T$ を固定して $\hbar\to0$ とすれば $0$ に近づき、Nelson の (B) の道筋は古典の熱平衡の振動子の集団の相関を再現する（第7部第5章の総合問題 (5) の道筋の極限と同じ結論）。