量子力学の様々な構成方法 第7部 第6章 §7.6.4 ★★★ 第3節の食い違いは「測らない粒子の道筋」の相関についてであり、途中で位置を測る実験の統計では Nelson の過程と基準が一致する
基準で2時刻の位置を測る
基準で「時刻 0 0 0 t t t 0 0 0 x 0 x_0 x 0 t t t δ \delta δ K ^ x 0 = ( 2 π δ 2 ) − 1 / 4 exp [ − ( x ^ − x 0 ) 2 / ( 4 δ 2 ) ] \hat K_{x_0}=(2\pi\delta^2)^{-1/4}\exp[-(\hat x-x_0)^2/(4\delta^2)] K ^ x 0 = ( 2 π δ 2 ) − 1/4 exp [ − ( x ^ − x 0 ) 2 / ( 4 δ 2 )] ∫ K ^ x 0 † K ^ x 0 d x 0 = 1 \int\hat K_{x_0}^\dagger\hat K_{x_0}\mathrm{d} x_0=1 ∫ K ^ x 0 † K ^ x 0 d x 0 = 1 第4部第5章 ）で表す。結果 x 0 x_0 x 0 ⟨ ψ ∣ K ^ x 0 † K ^ x 0 ∣ ψ ⟩ \langle \psi | \hat K_{x_0}^\dagger\hat K_{x_0} | \psi \rangle ⟨ ψ ∣ K ^ x 0 † K ^ x 0 ∣ ψ ⟩ K ^ x 0 ∣ ψ ⟩ \hat K_{x_0}| \psi \rangle K ^ x 0 ∣ ψ ⟩
例題 7.6.4 分解能 δ \delta δ
オリジナル 共通例題①の基底状態に、時刻 0 0 0 δ \delta δ x 0 x_0 x 0
x 0 x_0 x 0 測定のあとの状態の位置の平均 μ ( x 0 ) \mu(x_0) μ ( x 0 ) ∣ ψ ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2
時刻 t t t ⟨ x ^ ⟩ t \langle \hat x \rangle _t ⟨ x ^ ⟩ t E [ x 0 ⟨ x ^ ⟩ t ] \mathrm E[x_0\langle \hat x \rangle _t] E [ x 0 ⟨ x ^ ⟩ t ] δ \delta δ σ g 2 cos ω t \sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t σ g 2 cos ω t
87 R b {}^{87}\mathrm{Rb} 87 Rb ω = 2 π × 100 H z \omega=2\pi\times100\,\mathrm{Hz} ω = 2 π × 100 Hz σ g = 0.763 μ m \sigma_{\mathrm g}=0.763\,\mu\mathrm m σ g = 0.763 μ m δ = 1 μ m \delta=1\,\mu\mathrm m δ = 1 μ m ω t = π \omega t=\pi ω t = π μ m 2 \mu\mathrm m^2 μ m 2
解答 (1) ∣ ψ 0 ∣ 2 \lvert \psi_0\rvert ^2 ∣ ψ 0 ∣ 2 σ g 2 \sigma_{\mathrm g}^2 σ g 2 ∣ K ∣ 2 \lvert K\rvert ^2 ∣ K ∣ 2 δ 2 \delta^2 δ 2 σ g 2 + δ 2 \sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2 σ g 2 + δ 2
(2) 測定のあとの波動関数は e − x 2 / ( 4 σ g 2 ) e − ( x − x 0 ) 2 / ( 4 δ 2 ) \mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_{\mathrm g}^2)}\mathrm{e}^{-(x-x_0)^2/(4\delta^2)} e − x 2 / ( 4 σ g 2 ) e − ( x − x 0 ) 2 / ( 4 δ 2 ) ∣ ψ ∣ 2 \lvert \psi\rvert ^2 ∣ ψ ∣ 2 − x 2 / ( 2 σ g 2 ) − ( x − x 0 ) 2 / ( 2 δ 2 ) -x^2/(2\sigma_{\mathrm g}^2)-(x-x_0)^2/(2\delta^2) − x 2 / ( 2 σ g 2 ) − ( x − x 0 ) 2 / ( 2 δ 2 ) μ = x 0 σ g 2 / ( σ g 2 + δ 2 ) \mu=x_0\sigma_{\mathrm g}^2/(\sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2) μ = x 0 σ g 2 / ( σ g 2 + δ 2 ) σ g 2 δ 2 / ( σ g 2 + δ 2 ) \sigma_{\mathrm g}^2\delta^2/(\sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2) σ g 2 δ 2 / ( σ g 2 + δ 2 ) μ \mu μ 0 0 0 σ g \sigma_{\mathrm g} σ g
(3) 波動関数が実なので ⟨ p ^ ⟩ = Re ∫ ψ ( − i ℏ ψ ′ ) d x = 0 \langle \hat p \rangle =\operatorname{Re}\int\psi(-\mathrm{i}\hbar\psi')\mathrm{d} x=0 ⟨ p ^ ⟩ = Re ∫ ψ ( − i ℏ ψ ′ ) d x = 0 ⟨ x ^ ⟩ t = μ cos ω t + ⟨ p ^ ⟩ sin ω t / ( m ω ) = μ cos ω t \langle \hat x \rangle _t=\mu\cos\omega t+\langle \hat p \rangle \sin\omega t/(m\omega)=\mu\cos\omega t ⟨ x ^ ⟩ t = μ cos ω t + ⟨ p ^ ⟩ sin ω t / ( mω ) = μ cos ω t
E [ x 0 ⟨ x ^ ⟩ t ] = σ g 2 σ g 2 + δ 2 E [ x 0 2 ] cos ω t = σ g 2 σ g 2 + δ 2 ( σ g 2 + δ 2 ) cos ω t = σ g 2 cos ω t . \mathrm E[x_0\langle \hat x \rangle _t]=\frac{\sigma_{\mathrm g}^2}{\sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2}\,\mathrm E[x_0^2]\cos\omega t=\frac{\sigma_{\mathrm g}^2}{\sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2}(\sigma_{\mathrm g}^2+\delta^2)\cos\omega t=\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t . E [ x 0 ⟨ x ^ ⟩ t ] = σ g 2 + δ 2 σ g 2 E [ x 0 2 ] cos ω t = σ g 2 + δ 2 σ g 2 ( σ g 2 + δ 2 ) cos ω t = σ g 2 cos ω t .
分解能を粗くすると μ \mu μ x 0 x_0 x 0 t t t x t x_t x t ⟨ x ^ ⟩ t \langle \hat x \rangle _t ⟨ x ^ ⟩ t E [ x 0 x t ] \mathrm E[x_0x_t] E [ x 0 x t ] (7.6.8) の対称化した相関 Re C ( t ) \operatorname{Re} C(t) Re C ( t ) e − ω ∣ t ∣ \mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert } e − ω ∣ t ∣
(4) − σ g 2 = − ( 0.763 ) 2 = − 0.582 μ m 2 -\sigma_{\mathrm g}^2=-(0.763)^2=-0.582\,\mu\mathrm m^2 − σ g 2 = − ( 0.763 ) 2 = − 0.582 μ m 2 δ \delta δ δ = 1 μ m \delta=1\,\mu\mathrm m δ = 1 μ m x 0 x_0 x 0 0.582 + 1 = 1.26 μ m \sqrt{0.582+1}=1.26\,\mu\mathrm m 0.582 + 1 = 1.26 μ m 0.582 / 1.582 = 37 % 0.582/1.582=37\% 0.582/1.582 = 37% t t t
分解能 δ \delta δ σ g 2 cos ω t \sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t σ g 2 cos ω t σ g 2 e − ω ∣ t ∣ \sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\omega\lvert t\rvert } σ g 2 e − ω ∣ t ∣
Nelson の過程に測定を入れる
Nelson の構成で同じ実験を書くには、時刻 0 0 0 K ^ x 0 ∣ ψ ⟩ \hat K_{x_0}| \psi \rangle K ^ x 0 ∣ ψ ⟩ 0 0 0 b = ( ℏ / m ) ( Re + Im ) ∂ x ln ψ b=(\hbar/m)(\operatorname{Re}+\operatorname{Im})\partial_x\ln\psi b = ( ℏ/ m ) ( Re + Im ) ∂ x ln ψ 34 , 3732–3738）。
例題 7.6.4 の場合、測定のあとの過程は新しい波動関数の Nelson の過程で、第7部第5章の等変性から各時刻の分布は ∣ ψ ( t ) ∣ 2 \lvert \psi(t)\rvert ^2 ∣ ψ ( t ) ∣ 2 E [ X ( t ) ∣ x 0 ] = ⟨ x ^ ⟩ t = μ cos ω t \mathrm E[X(t)\mid x_0]=\langle \hat x \rangle _t=\mu\cos\omega t E [ X ( t ) ∣ x 0 ] = ⟨ x ^ ⟩ t = μ cos ω t x 0 x_0 x 0 σ g 2 cos ω t \sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t σ g 2 cos ω t δ → 0 \delta\to0 δ → 0 K ( x , t ; x 0 , 0 ) K(x,t;x_0,0) K ( x , t ; x 0 , 0 )
b ( x , t ) = ω ( x tan ω t − x 0 sin ω t ) ( 0 < ω t < π ) (7.6.11) b(x,t)=\omega\Bigl(\frac{x}{\tan\omega t}-\frac{x_0}{\sin\omega t}\Bigr)\qquad(0<\omega t<\pi)\tag{7.6.11} b ( x , t ) = ω ( tan ω t x − sin ω t x 0 ) ( 0 < ω t < π ) ( 7.6.11 )
になる（∣ K ∣ \lvert K\rvert ∣ K ∣ x x x 0 0 0 b ≈ ( x − x 0 ) / t b\approx(x-x_0)/t b ≈ ( x − x 0 ) / t x 0 x_0 x 0 X ˉ ( t ) = x 0 cos ω t \bar X(t)=x_0\cos\omega t X ˉ ( t ) = x 0 cos ω t ω t = π \omega t=\pi ω t = π − x 0 -x_0 − x 0
したがって、Nelson の過程が基準と食い違うのは、「途中で測らなかったとき粒子がたどったはずの道筋」の相関であり、それは原理的に観測にかからない量である。第7部第4章で Bohm の軌道について得た結論（同値は測定の結果の統計まで。第7部第4章 ）が、Nelson の過程でもそのまま成り立つ。ただし、ここで測定に伴う波動関数の変化を外から与えたことには注意が要る。Nelson の構成では波動関数は過程から作った派生の量で、独自に「収縮」させる規則を持っていない。M. Derakhshani と G. Bacciagaluppi は、測定器の自由度まで過程に含めると、Bohm の理論の「実質的な収縮」と同じ仕組みで、測定のあとの粒子が収縮した波動関数のドリフトに従うことを論じた（M. Derakhshani and G. Bacciagaluppi (2022), arXiv:2208.14189）。その代償は次節の非局所性である。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
