トンネル効果と瞬間子

量子力学の様々な構成方法　第3部 第7章 §3.7.1　★★★ 古典の軌道が無い障壁の下では、虚時間の古典解（瞬間子）が停留点になり、二重井戸の分裂 $\Delta E=2\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}$ が瞬間子を何個でも足し合わせる和から出る

第3部はここまでで、Feynman の要請（第3部第1章）を置き、基準から経路積分を導き（第3部第2章）、共通例題①③を Gauss 積分で解き（第3部第3章）、停留位相で古典極限を出し（第3部第4章）、逆向きに経路積分から Schrödinger 方程式と交換関係を取り戻し（第3部第5章）、虚時間で統計力学につないだ（第3部第6章）。この章は部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）の最後の2段を受け持つ。

前半の2節は、経路積分が基準（第1部の状態ベクトルと演算子）よりも短く答えに届く問題を扱う。1つ目はトンネル効果で、古典の軌道が存在しない障壁の下の運動を、虚時間の古典解（瞬間子）として扱う。二重井戸のエネルギーの分裂は、作用 $S_0$ だけで指数が決まる $\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}$ の形で出てくる。2つ目は Aharonov–Bohm の位相で、磁場の無い領域を通る経路が、ソレノイドのどちら側を何回まわったかで分類され、分類ごとに磁束で決まる位相を受け取る。経路の分類と位相という、経路積分に固有の言葉で答えが読める。

後半の3節は限界を扱う。束縛状態のスペクトルを出すには、経路積分は伝播関数の対角和をとってから展開し直すという遠回りをする（3.7.3節）。実時間の経路積分の $\mathcal Dx$ は経路の空間の上の測度として存在しない（3.7.4節）。第3部第5章が Chernoff の積公式で示した「時間分割の極限が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ に収束する」という結論は、$V$ が実数で滑らか、導関数が有界という仮定の下のものだった。その仮定を外れる Coulomb ポテンシャルと逆2乗のポテンシャルで、何が残り何が壊れるかを 3.7.5節で確かめる。最後から2番目の節では、Schwinger の作用原理を経路積分の微分の形として導き、それが基準の運動方程式と Schrödinger 方程式に直接つながる橋であることを示す。

記号は第3部のほかの章に揃え、1自由度の位置を $x$、時間分割の区間の幅を $\epsilon$、虚時間を $\tau$（$t=-\mathrm{i}\tau$）と書く。

実の停留点が無いとき

第3部第4章では、$\hbar\to0$ で経路積分が作用の停留点、つまり古典の軌道に集まることを示した。エネルギーの足りない粒子が障壁を通り抜ける場合には、障壁の向こうへ行く実の古典軌道が存在しないので、実時間の停留位相はそのままでは使えない。ここで経路積分の側に1つの自由度がある。時間を虚数 $t=-\mathrm{i}\tau$ に回すと、作用の位相は実の指数に変わる。

$$\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S[x]=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int\Bigl[\frac m2\dot x^2-V(x)\Bigr]\mathrm{d} t\;\longrightarrow\;-\frac1\hbar S_{\mathrm E}[x],\qquad S_{\mathrm E}[x]=\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr]\mathrm{d}\tau .\tag{3.7.1}$$

$S_{\mathrm E}$ を Euclid の作用と呼ぶ。虚時間の伝播関数 $\langle x_f | \mathrm{e}^{-\hat HT/\hbar} | x_i \rangle$ は $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ の経路積分で、$\hbar\to0$ では $S_{\mathrm E}$ を最小にする経路が支配する（Laplace の方法）。$S_{\mathrm E}$ の停留条件は

$$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}\tau^2}=+V'(x)\tag{3.7.2}$$

で、これはポテンシャル $-V$ の中の古典運動の方程式である。実時間で山だった障壁は、虚時間では谷になる。したがって、実時間では通れない障壁の下にも、虚時間では古典の軌道が存在する。虚時間の時間発展の演算子 $\mathrm{e}^{-\hat HT/\hbar}$ のスペクトル分解$\sum_n\mathrm{e}^{-E_nT/\hbar}| n \rangle \langle n |$ から、$T\to\infty$ の振る舞いで低い準位が読めるので、虚時間の古典解はエネルギー準位の情報をそのまま運ぶ。

二重井戸と瞬間子

具体的に、底が $x=\pm a$ にある対称な二重井戸

$$V(x)=\frac{m\omega^2}{8a^2}\bigl(x^2-a^2\bigr)^2\tag{3.7.3}$$

を考える。係数は、底での曲率が $V''(\pm a)=m\omega^2$ になるように選んである。片方の井戸だけを見れば角周波数 $\omega$ の調和振動子で、零点エネルギーは $\hbar\omega/2$ である。二つの井戸のあいだの障壁の高さは $V(0)=m\omega^2a^2/8$ である。

虚時間の方程式 (3.7.2) は「$-V$ の中の運動」なので、虚時間のエネルギー $\frac m2(\mathrm{d} x/\mathrm{d}\tau)^2-V(x)$ が保存する。$\tau\to-\infty$ で $-a$ の頂上に止まっていて、$\tau\to+\infty$ で $+a$ の頂上に止まる解は、このエネルギーが0の解で、$\mathrm{d} x/\mathrm{d}\tau=\sqrt{2V/m}=\frac{\omega}{2a}(a^2-x^2)$ を積分して

$$x_{\mathrm{inst}}(\tau)=a\tanh\frac{\omega(\tau-\tau_0)}{2}\tag{3.7.4}$$

を得る。これを瞬間子（instanton）と呼ぶ。名前は、$-a$ から $+a$ への移り変わりが中心 $\tau_0$ のまわりの幅 $1/\omega$ ほどの短い虚時間で済み、それ以外では井戸の底に留まっていることによる。中心 $\tau_0$ は任意で、これは虚時間の並進の自由度である。逆向きに $+a$ から $-a$ へ移る解 $-x_{\mathrm{inst}}$ を反瞬間子と呼ぶ。

瞬間子の Euclid の作用は、エネルギー0の条件 $\frac m2\dot x^2=V$ を使うと

$$S_0=\int_{-\infty}^{\infty}m\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2\mathrm{d}\tau=\int_{-a}^{a}\sqrt{2mV(x)}\,\mathrm{d} x=\frac{2}{3}m\omega a^2\tag{3.7.5}$$

になる。中の式は、WKB の透過の指数に現れる障壁の下の積分 $\int\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x$ と同じもので（第3部第4章）、エネルギーを底の値 $0$ にとったものである。瞬間子の作用は、WKB で言えば障壁の下の「虚数の運動量」の積分そのものである。

瞬間子を何個でも足す

虚時間の振幅 $\langle \pm a | \mathrm{e}^{-\hat HT/\hbar} | -a \rangle$ を、$T$ が $1/\omega$ よりずっと長いとして計算する。寄与する経路は、井戸の底に留まりながら、ときどき瞬間子か反瞬間子で反対の井戸へ移るものである。中心が $\tau_1<\tau_2<\dots<\tau_n$ にある $n$ 個の移り変わりを持つ経路を考え、移り変わりどうしが幅 $1/\omega$ に比べて十分に離れているとする（希薄気体の近似）。このとき作用は足し算になって $nS_0$ で、経路のまわりの揺らぎの積分は、底での調和振動子の分 $\sqrt{m\omega/(\pi\hbar)}\,\mathrm{e}^{-\omega T/2}$ と、移り変わり1個あたりの因子 $K\,\mathrm{d}\tau_j$ の積になる。$K$ は瞬間子のまわりの揺らぎの行列式の比で決まる定数で、$\mathrm{d}\tau_j$ は中心の並進の自由度の積分である。$-a$ から出発して $+a$ に着くには $n$ が奇数、$-a$ に戻るには偶数でなければならない。中心の積分は $\int_0^T\mathrm{d}\tau_n\cdots\int_0^{\tau_2}\mathrm{d}\tau_1=T^n/n!$ なので、

$$\begin{split} \langle \pm a | \mathrm{e}^{-\hat HT/\hbar} | -a \rangle &\approx\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{-\omega T/2}\sum_{n:\ \text{奇数／偶数}}\frac{(KT\mathrm{e}^{-S_0/\hbar})^n}{n!}\\ &=\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{-\omega T/2}\times \begin{cases}\sinh(KT\mathrm{e}^{-S_0/\hbar})&(+a)\\ \cosh(KT\mathrm{e}^{-S_0/\hbar})&(-a)\end{cases} \end{split}\tag{3.7.6}$$

を得る。一方、基準の側ではスペクトル分解から、最低の2つの準位 $E_\pm$ と固有関数 $\psi_\pm$（$\psi_+$ が偶、$\psi_-$ が奇）を使って$\langle \pm a | \mathrm{e}^{-\hat HT/\hbar} | -a \rangle \approx\psi_+(\pm a)\psi_+(-a)\mathrm{e}^{-E_+T/\hbar}+\psi_-(\pm a)\psi_-(-a)\mathrm{e}^{-E_-T/\hbar}$ である。$\sinh$ と $\cosh$ を指数に開いて比べると

$$E_\pm=\frac{\hbar\omega}{2}\mp\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar},\qquad \Delta E=E_--E_+=2\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\tag{3.7.7}$$

が読み取れる。偶の状態が下で、奇の状態が上にある。どちらの井戸に居るかの振幅は、周期 $2\pi\hbar/\Delta E$ で行き来する。指数 $S_0/\hbar$ は瞬間子の作用だけで決まり、前因子 $K$ だけが揺らぎの計算を要する。揺らぎの行列式には $\tau_0$ の並進に対応する固有値0のモード（零モード）があり、それを中心の積分 $\mathrm{d}\tau_0$ として取り出したことが $\sqrt{S_0}$ の因子になって残る。結果だけを書くと、瞬間子が井戸の底へ近づく漸近形を $a-x_{\mathrm{inst}}\approx A\mathrm{e}^{-\omega\tau}$ としたとき

$$K=\omega\sqrt{\frac{m\omega A^2}{\pi\hbar}}\tag{3.7.8}$$

で、式 (3.7.4) では $A=2a$、$m\omega A^2=4m\omega a^2=6S_0$ なので $K=\omega\sqrt{6S_0/(\pi\hbar)}$ である。この計算の手順は S. Coleman の講義（S. Coleman (1985), Aspects of Symmetry, Cambridge University Press, 第7章 The uses of instantons）にまとまっている。この章では $K$ の導出は書かず、次の例題と図 3.7.2 で、行列の数値対角化で得た厳密な分裂と比べて確かめる。

同じ計算は、回路の量子化（第2部第5章）で磁束 $\Phi$ を座標にとった Josephson 接合の巨視的な量子トンネルにも、座標の名前を替えるだけで当てはまる。環境による散逸が加わったときの扱いは、経路積分と密度行列が合流する第4部第6章（第4部第6章）で扱う。