Aharonov–Bohm の位相と経路の分類

量子力学の様々な構成方法　第3部 第7章 §3.7.2　★★★ 磁場の無い領域を通る経路は、ソレノイドのまわりを何回まわったかで分類され、分類ごとに $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ の位相を受け取る。重みは経路の分類の群の1次元表現でなければならない

作用の中の $\bm{A}$ は経路の分類だけを見る

電荷 $q$ の粒子の作用は $S=\int[\frac m2\dot{\bm{r}}^2+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}-q\phi]\mathrm{d} t$ で、ベクトルポテンシャルの部分は経路に沿った線積分 $\frac q\hbar\int\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}$ を位相に足す（評価点は中点。第3部第5章）。いま、平面に垂直な細いソレノイドがあり、内部に磁束 $\Phi$ が閉じ込められていて、外では磁場 $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ が0であるとする。粒子はソレノイドの外しか通れない。同じ始点と終点を結ぶ2本の経路 $\gamma_1,\gamma_2$ の位相の差は、閉じた経路 $\gamma_1-\gamma_2$ に沿った積分で

$$\frac q\hbar\Bigl(\int_{\gamma_1}-\int_{\gamma_2}\Bigr)\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\frac q\hbar\oint_{\gamma_1-\gamma_2}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\frac{q\Phi}{\hbar}\,w=2\pi w\varphi,\qquad\varphi\coloneqq\frac{q\Phi}{h}\tag{3.7.9}$$

になる。ここで $w$ は閉じた経路がソレノイドを反時計回りにまわる回数（巻き数）で、Stokes の定理により、ソレノイドを囲まない閉じた経路の積分は $\bm{B}=0$ から0、1回囲めば $\Phi$ である。したがって、$\bm{A}$ の線積分は経路の細かい形によらず、経路がソレノイドのまわりのどの「分類」に属するかだけで決まる。連続的に変形して互いに移り合う経路を同じ分類とみなすと、分類はソレノイドのどちら側を何回まわったかを表す整数 $w$ でつけられる。これは穴の開いた平面の基本群 $\pi_1=\mathbb{Z}$ である。

この分類を使うと、伝播関数は

$$K(\bm{r}_f,t;\bm{r}_i,0)=\sum_{w\in\mathbb{Z}}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}\,K_w(\bm{r}_f,t;\bm{r}_i,0)\tag{3.7.10}$$

と書ける。$K_w$ は分類 $w$ の経路だけを足した伝播関数で、$\bm{A}$ を含まない（基準の経路を1本選び、それとの差で $w$ を数える。基準の経路の選び方は全体の位相を変えるだけで、確率には影響しない）。磁束 $\Phi$ は、磁場の無い所しか通らない粒子に対しても、分類の重み $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ として確率に現れる。これが Aharonov–Bohm 効果の経路積分での読み方である（Y. Aharonov, D. Bohm (1959), Phys. Rev. 115, 485–491）。$\varphi$ を1だけずらしても重みは変わらないので、観測量は $\varphi$ について周期1を持つ。輪の上の自由粒子でこの周期性をスペクトルの側から確かめた例は第3部第2章（第3部第2章）にある。

重みは基本群の表現でなければならない

式 (3.7.10) は電磁気から出したが、逆向きに「経路の分類ごとに重み $\chi(w)$ を付けて足してよいか」と問うこともできる。合成則 $K(t+s)=\int K(t)K(s)$（第3部第1章）は、分類 $w_1$ の経路と $w_2$ の経路をつないだものが分類 $w_1+w_2$ に属することと組むと、

$$\chi(w_1)\chi(w_2)=\chi(w_1+w_2)\tag{3.7.11}$$

を要求する。さらに確率の保存（1区間の核のユニタリ性）から $\lvert \chi\rvert =1$ である。$\mathbb{Z}$ の上でこの2つを満たす関数は $\chi(w)=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ に限られ、$\varphi$ は $[0,1)$ の実数を1つ選ぶ自由度として残る。経路積分は、配置空間に穴があると、その穴を通る磁束に当たる実数を1つ自由に選べる構成になっている。L. S. Schulman はスピンの経路積分でこの見方を使い（L. S. Schulman (1968), Phys. Rev. 176, 1558–1569）、M. G. G. Laidlaw と C. M. DeWitt は、多重連結な配置空間の上の経路積分の重みが基本群の1次元ユニタリ表現でなければならないことを一般の形で示した（M. G. G. Laidlaw, C. M. DeWitt (1971), Phys. Rev. D 3, 1375–1378）。

同じ論法を同種粒子に当てると、統計が出てくる。2個の同種粒子の配置空間は、粒子を入れ替えた点を同じ点とみなすので多重連結になる。3次元以上では、入れ替えの経路を2回続けたものは1点に縮められるので基本群は $\mathbb{Z}_2$ で、1次元表現は $\chi(\text{入れ替え})=\pm1$ の2つしかない。$+1$ がボース粒子、$-1$ がフェルミ粒子である。2次元では2回の入れ替えが縮められず、基本群は組みひも群になり、$\chi$ は任意の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ をとれる（J. M. Leinaas, J. Myrheim (1977), Nuovo Cimento B 37, 1–23）。基準の側では、対称化の要請を公理として足して統計を入れる（第6部第2章）。経路積分の側では、配置空間の形と合成則から許される選択肢が数え上げられる。

二重スリットの縞のずれ

図 3.7.3 の配置で、上下のスリットを通る振幅の位相差を $\theta$ とすると、ソレノイドの無いときの強度は $1+\cos\theta$ に比例する（第3部第1章）。ソレノイドを置くと、上の経路と下の経路は分類が1だけ違うので、強度は $1+\cos(\theta+2\pi\varphi)$ に変わる。縞は全体が $\varphi$ 本分ずれ、縞の形は変わらない。外村彰らは、超伝導体で磁場を完全に閉じ込めたトロイダル磁石を電子線ホログラフィーで調べ、この位相差を観測した（A. Tonomura et al. (1986), Phys. Rev. Lett. 56, 792–795）。超伝導体の中では磁束が $h/(2e)$ の整数倍に量子化されるので、位相差は $0$ か $\pi$ のどちらかに限られ、その観測は磁束の量子化の直接の証拠にもなった。

基準の側で同じことを書くと、ソレノイドの外では $\bm{A}=\nabla\chi$（$\chi$ は角度に比例する多価の関数）とゲージ変換で $\bm{A}$ を消せるが、そのとき波動関数がソレノイドを一周すると $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi}$ だけ位相がずれる境界条件が残る。Schrödinger 方程式の側では磁束は「波動関数の境界条件」として、経路積分の側では「経路の分類の重み」として現れる。後者の方が、なぜ磁場の無い所で位相が付くのか、なぜ周期1なのかが式の形から読める。同じ位相は、幾何学的量子化では波動関数が接続を持つ線束の切断であることのホロノミーとして現れる（第10部第3章）。