同種粒子の $N$ 粒子空間：対称化の要請

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.1　★★★ 基準の公理 Q6 に「同種粒子の状態は入れ替えで不変か符号を変える」を1つ足すと、$N$ 粒子空間は $\mathcal{H}^{\otimes N}$ の対称な部分か反対称な部分になる

第6部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基準との同値」を受け持つ。前の第1章では、振動子の代数 $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ をモードごとに並べて Fock 空間を作り、粒子が1個の部分が基準（第1部）の1粒子の量子力学とユニタリに同値であることまで示した。この章ではそれを任意の粒子数 $N$ に広げる。

基準の側の出発点は、第1部第2章の公理 Q6（合成系はテンソル積）に、同種粒子についての対称化の要請を1つ足したものである。$N$ 個の同じ種類の粒子の状態は、1粒子のヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の $N$ 個のテンソル積 $\mathcal{H}^{\otimes N}$ のうち、粒子の入れ替えで不変な部分（ボース粒子）か符号を変える部分（フェルミ粒子）に限られる。第二量子化の側の出発点は、生成消滅演算子の交換関係（フェルミ粒子では反交換関係）と、すべての消滅演算子で消える真空 $| 0 \rangle$ である。この章の結論は、この2つの出発点から作ったヒルベルト空間と演算子が、粒子数ごとにユニタリ変換で1対1に移り合うということである。証明は両向きに書く。基準から出発して生成消滅演算子を作る向き（6.2.2 節の定理 6.2.2）と、代数と真空から出発して対称化した波動関数を作り直す向き（同じ節の定理 6.2.3）である。

章の筋は次のとおりである。6.2.1 節で対称化の要請を置き、なぜ対称か反対称の2通りしか無いのかを群の言葉で確かめる。6.2.2 節で同値の2つの定理を証明する。6.2.3 節で場の演算子 $\hat\psi(x)$ から $N$ 粒子の波動関数を読み出す公式を作り、密度と対密度を Fock 空間の期待値として書く。6.2.4 節で1体と2体の演算子の書き換え規則を証明する。6.2.5 節で共通例題①（調和振動子）を2粒子と3粒子の熱平衡として両方の言葉で解き、6.2.6 節で橋を表と図にまとめる。フェルミ粒子の代数そのもの（Pauli の排他律が代数の式になること）の詳しい話は次の第3章に回し、この章ではボース粒子とフェルミ粒子を符号 $\pm$ で並べて同時に扱う。式の中の複号は上の符号がボース粒子、下の符号がフェルミ粒子を表す。

入れ替えの演算子

1粒子のヒルベルト空間を $\mathcal{H}$ とする（たとえば1次元の粒子なら $\mathcal{H}= L^2(\mathbb{R})$）。粒子が $N$ 個あるとき、第1部第2章の公理 Q6 により、区別できる粒子の系の状態空間はテンソル積 $\mathcal{H}^{\otimes N}$ で、位置表示では $N$ 変数の波動関数 $\Psi(x_1,\dots,x_N)$ である（第1部第2章）。

$N$ 文字の置換 $\sigma$（$\{1,\dots,N\}$ の並べ替え）に対して、入れ替えの演算子 $\hat P_\sigma$ を

$$(\hat P_\sigma\Psi)(x_1,\dots,x_N)=\Psi(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(N)})\tag{6.2.1}$$

で定める。$\hat P_\sigma$ は積分の変数の名前を付け替えるだけなので内積を保ち、ユニタリである。定義から $\hat P_\sigma\hat P_\tau=\hat P_{\sigma\circ\tau}$（$\sigma\circ\tau$ は先に $\tau$、次に $\sigma$ を当てた置換）が成り立つ。2番目と5番目の粒子だけを入れ替える互換を $\hat P_{25}$ のように書く。互換は2回続けると元に戻るので $\hat P_{ij}^2=1$ である。

粒子が同種であるとは、どの観測量も粒子の番号の付け方によらないことである。式で書くと、物理的な観測量 $\hat A$ はすべての $\hat P_\sigma$ と交換する。ハミルトニアン

$$\hat H=\sum_{k=1}^N h^{(k)}+\sum_{k<l}v(x_k,x_l),\qquad v(x,y)=v(y,x)$$

はこの性質を持つ（$h^{(k)}$ は $k$ 番目の粒子にだけ当たる1粒子のハミルトニアン）。一方、「1番目の粒子の位置」$\hat x_1$ は $\hat P_{12}$ と交換しないので、同種粒子の観測量ではない。測れるのは「どこかの粒子が $x$ にいる密度」$\sum_k\delta(x-\hat x_k)$ のような対称な組み合わせだけである。

対称か反対称の2通りしか無い理由

状態 $\Psi$ と $\hat P_\sigma\Psi$ では、すべての観測量の期待値が等しい（$\langle \hat P_\sigma\Psi | \hat A | \hat P_\sigma\Psi \rangle =\langle \Psi | \hat P_\sigma^\dagger\hat A\hat P_\sigma | \Psi \rangle =\langle \Psi | \hat A | \Psi \rangle$）。予言が等しいものは同じ状態であるとみなす、というのが次の要請である。

この要請から $c(\sigma)$ は2通りしか無いことが出る。まず互換について、$\hat P_{ij}^2=1$ から $c(ij)^2=1$、つまり $c(ij)=\pm1$ である。

次に、互換どうしは互いに共役である。たとえば $\hat P_{13}=\hat P_{12}\hat P_{23}\hat P_{12}$（1と2を入れ替え、2と3を入れ替え、もう一度1と2を入れ替えると、結果は1と3の入れ替え）なので、$c(13)=c(12)c(23)c(12)=c(23)$ である。同じ議論をすべての組に当てると、どの互換の $c$ も同じ値になる。最後に、どの置換も互換の積で書けるので、$c(\sigma)$ は互換の値で決まる。したがって

$$c(\sigma)=1\ (\text{すべての }\sigma)\qquad\text{または}\qquad c(\sigma)=\operatorname{sgn}\sigma\tag{6.2.2}$$

の2通りに限られる（$\operatorname{sgn}\sigma$ は偶置換で $+1$、奇置換で $-1$）。前者の粒子をボース粒子、後者をフェルミ粒子と呼ぶ。以下では $(\pm1)^\sigma$ を、ボース粒子なら常に $1$、フェルミ粒子なら $\operatorname{sgn}\sigma$ を表す記号として使う。

どちらになるかは粒子の種類で決まり、スピンが整数の粒子はボース粒子、半整数の粒子はフェルミ粒子である。この対応（スピンと統計の定理）は相対論的な場の量子論で証明されるもので、非相対論の量子力学の公理からは出てこない。この巻では実験で確かめられた事実として受け入れる。

対称化の射影と、空間の次元

対称化の要請を満たすベクトルだけを取り出す演算子を作る。

$$\hat S_\pm=\frac1{N!}\sum_{\sigma}(\pm1)^\sigma\,\hat P_\sigma\tag{6.2.3}$$

とおく（和は $N!$ 個の置換全体）。$\hat S_\pm$ は直交射影である。実際、任意の $\tau$ について $\hat P_\tau\hat S_\pm=(\pm1)^\tau\hat S_\pm$（和の中で $\sigma$ を $\tau$ との合成に付け替えても全体は同じで、符号は $(\pm1)^{\tau\sigma}=(\pm1)^\tau(\pm1)^\sigma$ から出る）なので、$\hat S_\pm^2=\frac1{N!}\sum_\tau(\pm1)^\tau\hat P_\tau\hat S_\pm=\frac1{N!}\sum_\tau(\pm1)^{2\tau}\hat S_\pm=\hat S_\pm$ である。$\hat P_\sigma^\dagger=\hat P_{\sigma^{-1}}$ と $(\pm1)^{\sigma^{-1}}=(\pm1)^\sigma$ から $\hat S_\pm^\dagger=\hat S_\pm$ もわかる。像を

$$\mathcal{H}_N^\pm=\hat S_\pm\mathcal{H}^{\otimes N}\tag{6.2.4}$$

と書き、ボース粒子 $N$ 個・フェルミ粒子 $N$ 個の状態空間と呼ぶ。$\mathcal{H}_0^\pm=\mathbb{C}$（粒子が無い状態だけ）、$\mathcal{H}_1^\pm=\mathcal{H}$ とする。

1粒子の空間が有限次元 $d$ のとき（$d$ 個の軌道 $\varphi_1,\dots,\varphi_d$ だけを考えるとき）、次元は

$$\dim\mathcal{H}_N^+=\binom{d+N-1}{N},\qquad \dim\mathcal{H}_N^-=\binom{d}{N}\tag{6.2.5}$$

である。ボース粒子の状態は「どの軌道に何個入っているか」（合計 $N$ 個、重複を許す）で、フェルミ粒子の状態は「どの $N$ 個の軌道が埋まっているか」（重複を許さない）で決まるからである。これは次節で証明する同値の、数え方の上での最初の現れになっている。