この章のまとめ

(1) 式 (6.1.8) で $ka=2\pi\ell/6=\pi\ell/3$ なので $\omega_\ell=2\omega_0\lvert \sin(\pi\ell/6)\rvert$ である。$\ell=0,1,2,3,4,5$ に対して

$$\omega_\ell/\omega_0=0,\ 1,\ \sqrt3,\ 2,\ \sqrt3,\ 1$$

になる。$\ell$ と $6-\ell$（$k$ と $-k$）は同じ振動数を持つ。図 6.1.1 の赤い点がこれに当たる。

(2) 式 (6.1.10) から基底状態は全モードで $n_k=0$ で、エネルギーは $\sum_{k\neq0}\hbar\omega_k/2$ である。

$$E_0=\frac{\hbar\omega_0}{2}\bigl(1+\sqrt3+2+\sqrt3+1\bigr)=(2+\sqrt3)\,\hbar\omega_0=3.732\,\hbar\omega_0$$

各モードの $\frac12\hbar\omega_k$ は共通例題①の零点エネルギーで、それを5つのモードについて足しただけである。

(3) 振動のモードは $\ell=1,\dots,5$ の5つである。量子2個の状態は、同じモードに2個（5通り）と、異なる2つのモードに1個ずつ（$\binom52=10$ 通り）で合わせて15個ある。量子を区別できる粒子とみなすと「1個目がどのモードか」「2個目がどのモードか」で $5^2=25$ 通りになり、Fock 空間の数え方と合わない。差の10は、異なるモードに1個ずつ入った状態を2回ずつ数えた分である（6.1.3 節の Bose 統計。対称化との関係は 第6部第2章）。全結晶運動量が実質 0 になるのは $\ell_1+\ell_2\equiv0\pmod6$ の組で、$(1,5)$、$(2,4)$、$(3,3)$ の3つである。エネルギー（基底状態から測る）は$\hbar(\omega_1+\omega_5)=2\hbar\omega_0$、$\hbar(\omega_2+\omega_4)=2\sqrt3\,\hbar\omega_0$、$2\hbar\omega_3=4\hbar\omega_0$ である。$k$ と $-k$ の量子を対にした状態だけが全体として運動量を持たない。

(4) $\hat{\tilde p}_0=6^{-1/2}\sum_j\hat p_j=\hat P/\sqrt6$ なので、式 (6.1.10) の $k=0$ の項は $\hat{\tilde p}_0^{\,2}/(2M)=\hat P^2/(2\cdot6M)$ である。共役な座標 $\hat{\tilde u}_0=\sqrt6\,\hat U$（$\hat U=\frac16\sum_j\hat u_j$ は重心）について $\left[\hat U,\,\hat P\right]=\mathrm{i}\hbar$ が成り立つので、重心は質量 $6M$ の自由粒子として動く。したがって重心の伝播関数は共通例題③の $K$ で $m\to6M$ としたもので、幅は式 (6.1.26) に従う。幅が $\sqrt2$ 倍になる時刻は

$$t_*=\frac{2(6M)\sigma_0^2}{\hbar}=\frac{12\times12\times1.6605\times10^{-27}\times(10^{-10})^2}{1.0546\times10^{-34}}\,\mathrm s=2.27\times10^{-11}\,\mathrm s$$

である。重心のモードは振動数 0 のモードで、振動子ではなく自由粒子になる。輪の中で原子どうしがどう振動していても、重心の広がりはそれと独立に進む。

(5) 各モードの平均個数は式 (6.1.22) で、$k_{\mathrm B} T=\hbar\omega_0$ なら $x=\omega_\ell/\omega_0$ として $\langle \hat n \rangle =1/(\mathrm{e}^x-1)$ である。$x=1$ で $0.582$、$x=\sqrt3$ で $0.215$、$x=2$ で $0.157$ なので、個数の和は $2(0.582)+2(0.215)+0.157=1.75$ である。エネルギーの上がり分は $\sum\hbar\omega_\ell\langle \hat n_\ell \rangle =\hbar\omega_0\sum x/(\mathrm{e}^x-1)$ で、$x/(\mathrm{e}^x-1)$ は $x=1,\sqrt3,2$ でそれぞれ $0.582,\ 0.372,\ 0.313$ なので

$$\langle \hat H \rangle -E_0=\hbar\omega_0\bigl(2\times0.582+2\times0.372+0.313\bigr)=2.22\,\hbar\omega_0$$

になる（重心の運動は除いた）。高温では $\hbar\omega/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)\approx k_{\mathrm B} T-\hbar\omega/2$ なので、零点エネルギーと合わせた全体は $5 k_{\mathrm B} T$、つまり振動の5つのモードがそれぞれ古典の等分配の $k_{\mathrm B} T$ を持つ値に近づく。$k_{\mathrm B} T=20\hbar\omega_0$ で計算すると上がり分は $96.32\,\hbar\omega_0$ で、$5\times20-(2+\sqrt3)=96.27$ との差 $0.05$ は次の項 $\sum(\hbar\omega)^2/(12 k_{\mathrm B} T)$ と一致する。