弦の量子化と Fock 空間

量子力学の様々な構成方法　第6部 第1章 §6.1.3　★★★ 間隔を 0 にすると場の演算子 $\hat\phi(x)$ が現れ、状態はモードごとの個数の組で指定される。これが Fock 空間

連続の極限

前節の輪で、間隔 $a$ を小さくし、長さ $L=Na$ を固定したまま $N$ を大きくする。各原子のずれを位置 $x=ja$ の関数とみなして$\hat\phi(ja)=\hat u_j$、運動量の密度を $\hat\pi(ja)=\hat p_j/a$ とおく。線密度 $\mu=M/a$ と音速 $v=a\sqrt{K/M}$ を固定すると、$\sum_j a\to\int\mathrm{d} x$、$(\hat u_{j+1}-\hat u_j)/a\to\partial_x\hat\phi$ で

$$\hat H=\int_0^L\mathrm{d} x\,\Bigl[\frac{\hat\pi(x)^2}{2\mu}+\frac{\mu v^2}{2}\bigl(\partial_x\hat\phi(x)\bigr)^2\Bigr]\tag{6.1.12}$$

になる（$\hat p_j^2/(2M)=a\,\hat\pi^2/(2\mu)$、$\frac K2(\hat u_{j+1}-\hat u_j)^2\approx a\cdot\frac{Ka}{2}(\partial_x\hat\phi)^2$、$\mu v^2=Ka$）。交換関係 $\left[\hat u_j,\,\hat p_l\right]=\mathrm{i}\hbar\delta_{jl}$ は $\left[\hat\phi(ja),\,\hat\pi(la)\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta_{jl}/a$ になり、$\delta_{jl}/a$ は $a\to0$ で Dirac のデルタになるので

$$\left[\hat\phi(x),\,\hat\pi(y)\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta(x-y),\qquad\left[\hat\phi(x),\,\hat\phi(y)\right]=\left[\hat\pi(x),\,\hat\pi(y)\right]=0\tag{6.1.13}$$

を得る。これは古典の弦のラグランジアン密度 $\frac\mu2(\partial_t\phi)^2-\frac{\mu v^2}{2}(\partial_x\phi)^2$ から $\pi=\mu\partial_t\phi$ を作り、Poisson 括弧 $\{\phi(x),\pi(y)\}=\delta(x-y)$ に正準量子化の規則を当てたものと同じである。場の正準量子化を一般の場で行う手続きは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章にあり、ここでは原子の列の極限として同じ式に着いた。

展開 (6.1.11) も極限をとれる。$NM=\mu L$ なので係数は $\sqrt{\hbar/(2\mu L\omega_k)}$ になり、

$$\hat\phi(x)=\sum_{k\neq0}\sqrt{\frac{\hbar}{2\mu L\omega_k}}\Bigl(\hat a_k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}+\hat a_k^\dagger\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\Bigr),\qquad \hat\pi(x)=\sum_{k\neq0}(-\mathrm{i})\sqrt{\frac{\hbar\mu\omega_k}{2L}}\Bigl(\hat a_k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}-\hat a_k^\dagger\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\Bigr)\tag{6.1.14}$$

（重心のモードは省いた）。$k=2\pi n/L$（$n=\pm1,\pm2,\dots$）で、$ka\ll1$ のモードでは $\omega_k=v\lvert k\rvert$ である（図 6.1.1 の直線）。格子では $k$ が Brillouin 域の中の $N$ 個に限られていたが、$a\to0$ の弦ではモードが無限個になる。ハミルトニアンは$\hat H=\sum_k\hbar\omega_k(\hat a_k^\dagger\hat a_k+\frac12)$ で、零点エネルギーの和 $\sum_k\hbar\omega_k/2$ は発散する。この定数は観測できるエネルギーの差に現れないので、正規順序で差し引いて $\hat H=\sum_k\hbar\omega_k\hat a_k^\dagger\hat a_k$ とする（扱いは 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章と同じ）。

Fock 空間：状態を個数の組で指定する

すべての $\hat a_k$ で消される状態を真空 $| 0 \rangle$ とする。各モードの数演算子 $\hat n_k=\hat a_k^\dagger\hat a_k$ は互いに交換するので同時に対角化でき、その固有状態は

$$| \{n_k\} \rangle =\prod_k\frac{(\hat a_k^\dagger)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}| 0 \rangle ,\qquad \hat H| \{n_k\} \rangle =\Bigl(\sum_k n_k\hbar\omega_k\Bigr)| \{n_k\} \rangle\tag{6.1.15}$$

である。有限個の $n_k$ だけが 0 でない状態 $| \{n_k\} \rangle$ を基底とし、その線形結合を（ノルムについて）完備にしたヒルベルト空間をFock 空間と呼ぶ。名前は V. Fock に由来する。

$\hat a_k^\dagger$ を真空に当てた状態 $\hat a_k^\dagger| 0 \rangle$ のエネルギーは $\hbar\omega_k$ である。弦の全運動量 $\hat P=-\int\hat\pi\,\partial_x\hat\phi\,\mathrm{d} x$ は正規順序で $\sum_k\hbar k\,\hat a_k^\dagger\hat a_k$ になる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章の場の運動量と同じ計算）ので、この状態は運動量 $\hbar k$ を持つ。エネルギー $\hbar\omega_k$ と運動量 $\hbar k$ を持ち、$\hat a_k^\dagger$ で生まれ $\hat a_k$ で消える塊を、弦の振動の量子と呼ぶ。結晶の格子振動ではこれがフォノンで、電磁場ではフォトンである（物性での名前の一覧は 第6部第4章、光子は 光学と量子エレクトロニクス 第30章）。

量子が2個ある状態 $\hat a_k^\dagger\hat a_q^\dagger| 0 \rangle$ を考える。$\left[\hat a_k^\dagger,\,\hat a_q^\dagger\right]=0$ なので$\hat a_k^\dagger\hat a_q^\dagger| 0 \rangle =\hat a_q^\dagger\hat a_k^\dagger| 0 \rangle$ で、「1個目が $k$、2個目が $q$」と「1個目が $q$、2個目が $k$」は同じ状態である。状態は個数の組 $\{n_k\}$ だけで決まり、どの量子がどれかという区別はどこにも書かれていない。同じモードに何個でも入れる。この2つの性質は、量子を粒子とみなしたときの Bose 統計そのものである。Fock 空間では対称化を後から課す必要が無い。$N$ 個の同種粒子の波動関数を対称化した空間と Fock 空間の $N$ 粒子の部分が同じものであることは、第6部第2章で示す。