1つのモード：振動子の代数を「個数」で読む

量子力学の様々な構成方法　第6部 第1章 §6.1.1　★★★ 第2部第4章の代数を、エネルギー $\hbar\omega$ の量子が何個あるかという読み方に切り替える

第6部は、量子力学を Fock 空間と生成消滅演算子で組み立てる構成（第二量子化）を扱う。この部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は最初の2つを受け持つ。出発点には、第2部第4章で交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ だけから組み立てた1つの調和振動子の代数

$$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1,\qquad \hat H=\hbar\omega\Bigl(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\Bigr)$$

を置く。新しい公理は1つも足さない。この代数を、互いに独立な振動子がたくさん並んだ系に1つずつ当てはめると、状態は「どのモードに何個の量子が入っているか」という数の組 $\{n_k\}$ で指定され、その全体が Fock 空間になる。これがこの部の基本の対象である。

章の筋は次のとおりである。6.1.1 節で1つの振動子の代数を「量子の個数を数える」言葉で読み直す。6.1.2 節でばねでつながった原子の列を基準振動に分け、独立な振動子の集まりにする。6.1.3 節で間隔を 0 にして弦（場）にし、場の演算子と Fock 空間を導入する。6.1.4 節では同じ手続きを Schrödinger 方程式に従う古典の場 $\psi(x,t)$ に当て、「第二量子化」という名前の由来になった形を出す。そこでは1粒子の量子力学（基準）が、Fock 空間の「粒子1個の部分」としてそのまま戻ってくる。6.1.5 節で共通例題①（調和振動子）と③（自由粒子の伝播）を場の言葉で解き、6.1.6 節で行列力学（第2部）から第二量子化への橋を式で並べる。$N$ 粒子の波動関数の対称化と Fock 空間の同値は次の第2章で、フェルミ粒子は第3章で扱う。

第2部第4章から借りる代数

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の1次元の調和振動子 $\hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat x^2/2$ を考える。第2部第4章では、

$$\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Bigl(\hat x+\frac{\mathrm{i}\hat p}{m\omega}\Bigr),\qquad \hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Bigl(\hat x-\frac{\mathrm{i}\hat p}{m\omega}\Bigr)\tag{6.1.1}$$

とおくと、$\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ から $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ が従い、ハミルトニアンが

$$\hat H=\hbar\omega\Bigl(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\Bigr)\tag{6.1.2}$$

と書けることを示した。数演算子 $\hat n=\hat a^\dagger\hat a$ の固有値は $0,1,2,\dots$ に限られ、固有状態 $| n \rangle$ は

$$\hat a| n \rangle =\sqrt n\,| n-1 \rangle ,\qquad \hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}\,| n+1 \rangle ,\qquad | n \rangle =\frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}| 0 \rangle\tag{6.1.3}$$

を満たす。エネルギーは $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ である。この章ではこれらを結果として使い、導き直さない。

逆に解くと、位置と運動量は

$$\hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,(\hat a+\hat a^\dagger),\qquad \hat p=\mathrm{i}\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\,(\hat a^\dagger-\hat a)\tag{6.1.4}$$

になる。古典力学でも、同じ組み合わせ $a=\sqrt{m\omega/(2\hbar)}\,(x+\mathrm{i} p/(m\omega))$ を複素振幅と呼ぶ。これを使うとエネルギーは $H=\hbar\omega\lvert a\rvert ^2$、Hamilton 方程式は $\dot a=-\mathrm{i}\omega a$ になり、解は $a(t)=a(0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ の1行で済む。Poisson 括弧は

$$\{a,a^*\}=\frac{m\omega}{2\hbar}\Bigl(\{x,-\mathrm{i} p/(m\omega)\}+\{\mathrm{i} p/(m\omega),x\}\Bigr)=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\tag{6.1.5}$$

で、正準量子化の規則 $\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ を当てると $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i}/\hbar)=1$ になる（複素振幅と $\hat a$ の対応は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第4章にも同じ形で出ている）。式 (6.1.5) は 6.1.4 節で Schrödinger 場の各モードを振動子とみなすときにもう一度使う。

励起を「量子の個数」と読む

$E_n-E_0=n\hbar\omega$ なので、状態 $| n \rangle$ のエネルギーは「基底状態の上に $\hbar\omega$ の塊が $n$ 個載っている」と読める。$\hat a^\dagger$ は塊を1個足し、$\hat a$ は1個取り去り、$\hat n$ は個数を数える。振動子が1つだけなら、この読み方は言葉の上の言い換えにすぎない。しかし振動子がたくさんあるとき、各振動子の個数 $n_k$ の組で状態を指定すると、この「塊」はエネルギーと運動量を持ち、生成されたり消えたりする粒子として振る舞う（6.1.3 節）。第二量子化の考え方の中心は、この読み替えだけである。

この代数は有限次元では表せない

$\hat a$ を有限の $D$ 次元の行列で表そうとすると、交換関係が必ず破れる。行列の積のトレースは順序によらない（$\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$）ので $\operatorname{Tr}\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=0$ だが、右辺の単位行列のトレースは $D$ である。したがって$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ を満たす表現は無限次元のヒルベルト空間にしか無い。同じ議論で $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ も有限次元では表せない。したがって、モードが1つでも、第二量子化で使うヒルベルト空間は無限次元である。さらにモードが無限個になると、交換関係を満たす表現が1つに定まらなくなる（6.1.6 節の終わり）。