この章のまとめ

(1) (5.6.14) で $X_1=0$ と置くと、$\lvert \beta\mp\alpha_0\rvert ^2=\alpha_0^2+X_2^2$、$\lvert \beta\rvert ^2=X_2^2$ から

$$W(0,X_2)=\frac4\pi N_+^2\,\mathrm{e}^{-2X_2^2}\bigl(\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2}+\cos(4\alpha_0X_2)\bigr) .$$

原点の値は $W(0)=\frac2\pi\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\Pi)$ で、偶の猫状態は $| \alpha_0 \rangle$ と $| -\alpha_0 \rangle =\hat\Pi| \alpha_0 \rangle$ の和なので $\hat\Pi| \psi_+ \rangle =| \psi_+ \rangle$、$\langle \hat\Pi \rangle =1$ から $2/\pi$。$\alpha_0$ が大きいと括弧は $\cos$ に近く、$X_2=\pi/(4\alpha_0)$ の近くで $W$ は原点の値と同じくらい深く負になる。

(2) $\hat\rho_{\text{in}}=N_+^2\bigl(| \alpha_0 \rangle \langle \alpha_0 |+| -\alpha_0 \rangle \langle -\alpha_0 |+| \alpha_0 \rangle \langle -\alpha_0 |+| -\alpha_0 \rangle \langle \alpha_0 |\bigr)$ の各項に (5.6.16) を当てる。対角の項は係数 1、非対角の項は $\langle -\alpha_0 | \alpha_0 \rangle ^{1-\eta}=\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2(1-\eta)}$ が掛かり、$a=\sqrt\eta\alpha_0$ と書いて

$$\hat\rho_{\text{out}}=N_+^2\Bigl(| a \rangle \langle a |+| -a \rangle \langle -a |+\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2(1-\eta)}\bigl(| a \rangle \langle -a |+| -a \rangle \langle a |\bigr)\Bigr) .$$

(5.6.13) で $| a \rangle \langle -a |$ の $W$ を出すと $\frac2\pi\mathrm{e}^{-2a^2}\mathrm{e}^{-2\lvert \beta\rvert ^2+2a^2-4\mathrm{i} aX_2}$ で、$\mathrm{e}^{\pm2a^2}$ は打ち消すから、(5.6.14) の形の縞の項に $c=\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2(1-\eta)}$ が掛かる。$\eta=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ では $c=\exp\bigl(-2\alpha_0^2(1-\mathrm{e}^{-\Gamma t})\bigr)$ で、短い時間では $c\approx\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2\Gamma t}$、成分の振幅の減る速さ $\Gamma/2$ の $4\alpha_0^2$ 倍の速さで縞が消える。

(3) (1) と同じ計算で、ガウスの山の位置が $\pm a$ に、縞に $c$ が付くので

$$W_{\text{out}}(0,X_2)=\frac4\pi N_+^2\,\mathrm{e}^{-2X_2^2}\bigl(\mathrm{e}^{-2\eta\alpha_0^2}+c\cos(4aX_2)\bigr) .$$

$\mathrm{e}^{-2X_2^2}>0$ なので、負になる点があるのは括弧が負になりうるとき、すなわち $\cos=-1$ の点で $c>\mathrm{e}^{-2\eta\alpha_0^2}$ のときに限る。$c=\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2(1-\eta)}$ を入れると条件は $2\alpha_0^2(1-\eta)<2\eta\alpha_0^2$、すなわち $\eta>\frac12$ で、$\alpha_0$ が消える。

(4) (5.6.17) で $\eta=\frac12$ と置くと $\chi_{0,\text{out}}(\xi)=\chi_{0,\text{in}}(\xi/\sqrt2)\mathrm{e}^{-\lvert \xi\rvert ^2/4}$。命題 5.6.3 の $\chi_{-1}(\xi')=\chi_0(\xi')\mathrm{e}^{-\lvert \xi'\rvert ^2/2}$ を $\xi'=\xi/\sqrt2$ で使うと右辺は $\chi_{-1,\text{in}}(\xi/\sqrt2)$ である。Fourier 変換で引数を $1/\sqrt2$ 倍にすると分布の引数は $\sqrt2$ 倍、規格化を保つ係数 $2$ が付くので $W_{\text{out}}(\beta)=2Q_{\text{in}}(\sqrt2\beta)\ge0$。$\eta<\frac12$ では $\chi_{0,\text{out}}(\xi)=\chi_{-1,\text{in}}(\sqrt\eta\xi)\mathrm{e}^{-(1-2\eta)\lvert \xi\rvert ^2/2}$ で、伸ばした $Q_{\text{in}}$ をさらに $G_{(1-2\eta)/2}$ でならしたものになり、やはり非負である。半分の光を失った状態の $W$ は、入力に真空の雑音を足した同時測定の分布（第5部第4章の、真空の窓でならした分布）と同じもので、どんな非古典性もこの段階で $W$ の負の値としては見えなくなる。

(5) $c=\mathrm{e}^{-2\cdot4\cdot0.1}=\mathrm{e}^{-0.8}=0.4493$。$a=\sqrt{0.9}\cdot2=1.897$、$X_2=\pi/(4a)=0.4139$ で、$N_+^2=0.49983$、$\mathrm{e}^{-2\eta\alpha_0^2}=\mathrm{e}^{-7.2}=7.47\times10^{-4}$、$\mathrm{e}^{-2X_2^2}=0.7099$ から

$$W_{\text{out}}=\frac4\pi\cdot0.49983\cdot0.7099\,(7.47\times10^{-4}-0.4493)=-0.2026 .$$

格子で探した最小は $-0.207$ で、この点の近くにある。損失のない (1) の $-0.47$ に比べ半分以下になった。(4) から $\eta\le\frac12$ ではどんな状態の $W$ も非負なので、$\mathrm{e}^{-\Gamma t^*}=\frac12$、$t^*=T_1\ln2=0.693\,T_1$。猫状態に限らず、どの状態の負の値もこの時刻までに消える。第5部第4章の総合問題で $| 1 \rangle$ を混ぜた状態の負の値が消えた時刻 $T_1\ln2$ も、この一般の結果の1つの例である。