橋：第二量子化の並べ方と、位相空間の3つの分布

量子力学の様々な構成方法　第5部 第6章 §5.6.6　★★★ Fock 空間の密度行列と $Q$ が1対1に対応すること（両向き）、$\hat a$・$\hat a^\dagger$ の掛け算が $\alpha$ の Bopp の微分演算子に写ること、Lindblad 方程式が $s$ の族の Fokker–Planck 方程式に写ること

辞書

第二量子化（第6部）の言葉と位相空間の言葉の対応を表 5.6.1 にまとめる。

$\lvert \alpha\rvert ^2$ の行は、第5部第2章の Weyl 量子化 $\mathcal Q_{\mathrm W}[f]$ が対称順序を与えることから出る。$\alpha$ は $x,p$ の1次なので、同じ章の $\mathcal Q_{\mathrm W}[(ax+bp)^n]=(a\hat x+b\hat p)^n$ を複素の係数に延ばすと $\mathcal Q_{\mathrm W}[(\xi\alpha^*-\xi^*\alpha)^n]=(\xi\hat a^\dagger-\xi^*\hat a)^n$、係数を比べて $\mathcal Q_{\mathrm W}[\alpha^*\alpha]=\frac12(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)=\hat a^\dagger\hat a+\frac12$ である。調和振動子の $H=\hbar\omega\lvert \alpha\rvert ^2$ を Weyl 量子化すると零点 $\frac12\hbar\omega$ が自動的に付くのは、この行の結果である。

Fock 空間の密度行列と $Q$ の往復

証明

（基準 → 位相空間）$| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_n\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle$ を (5.6.7) に入れると (5.6.20) を得る。和は $\lvert \rho_{mn}\rvert \le1$ から$\sum\lvert \alpha\rvert ^{m+n}/\sqrt{m!n!}\le(\sum_n\lvert \alpha\rvert ^n/\sqrt{n!})^2<\infty$ で、すべての $\alpha$ で絶対収束する。

（位相空間 → 基準）$f(\alpha,\alpha^*)=\pi\mathrm{e}^{\lvert \alpha\rvert ^2}Q=\sum\rho_{mn}(\alpha^*)^m\alpha^n/\sqrt{m!n!}$ は、$\alpha$ と $\bar z=\alpha^*$ を独立な2つの複素変数とみなした関数$g(z,\bar z)=\sum\rho_{mn}\bar z^m z^n/\sqrt{m!n!}$ を対角線 $\bar z=z^*$ の上に制限したものである。$g$ は2変数の整関数で、対角線の上の値は $g$ を一意に決める（$g(z,\bar z)$ を $z=u+\mathrm{i} v$、$\bar z=u-\mathrm{i} v$ と書き直すと、$(u,v)$ の実の値で決まる2変数の解析関数で、実の部分空間の上の値で解析接続が一意に決まる）。$g$ が決まればべき級数の係数 $\rho_{mn}$ が決まる。

この定理が「第二量子化 ↔ 位相空間」の橋の要である。Fock 空間の基底で書いた $\hat\rho$ と、相空間の上の非負の関数 $Q$ は、同じ情報を持つ。$W$ と $P$ へは、命題 5.6.3 の特性関数の掛け算 $\chi_s=\chi_{-1}\mathrm{e}^{(s+1)\lvert \xi\rvert ^2/2}$ で移る。特性関数の段階では3つの分布は常に互いに決め合い、関数として書けるかどうかだけが $s$ ごとに違う。$s$ を下げる向き（$P\to W\to Q$）は Gauss 関数でならすので常にできるが、上げる向きは Gauss 関数で「ならし戻す」ことになり、5.6.3節・5.6.4節のように特性関数が増えて関数にならないことがある。

掛け算の写し方と Fokker–Planck 方程式

演算子の掛け算は、第5部第3章の $\star$ 積に写る。同じ章の $x\star F=(x+\frac{\mathrm{i}\hbar}2\partial_p)F$、$p\star F=(p-\frac{\mathrm{i}\hbar}2\partial_x)F$ を(5.6.1) の1次結合に組み、$\partial_{\alpha^*}=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}\,\partial_x+\mathrm{i}\sqrt{\hbar m\omega/2}\,\partial_p$ を使うと、$\alpha$ の上の Bopp の規則

$$\alpha\star F=\Bigl(\alpha+\frac12\partial_{\alpha^*}\Bigr)F,\quad F\star\alpha=\Bigl(\alpha-\frac12\partial_{\alpha^*}\Bigr)F,\quad \alpha^*\star F=\Bigl(\alpha^*-\frac12\partial_\alpha\Bigr)F,\quad F\star\alpha^*=\Bigl(\alpha^*+\frac12\partial_\alpha\Bigr)F\tag{5.6.21}$$

を得る。例えば $\alpha\star F$ の $\partial_p$ の項は $\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}\sqrt{m\omega}\cdot\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\partial_p=\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{\hbar m\omega/2}\,\partial_p$ で、$\frac12\partial_{\alpha^*}$ の $\partial_p$ の項と一致する。$F=\alpha^*$ と置くと $\alpha\star\alpha^*=\lvert \alpha\rvert ^2+\frac12$、$\alpha^*\star\alpha=\lvert \alpha\rvert ^2-\frac12$ で、差が交換関係の $1$ になる。

(5.6.21) を 第4部第5章の振幅減衰の Lindblad 方程式$\frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t}=\Gamma\bigl(\hat a\hat\rho\hat a^\dagger-\frac12\hat a^\dagger\hat a\hat\rho-\frac12\hat\rho\hat a^\dagger\hat a\bigr)$ に当てる。$\hat a\hat\rho\hat a^\dagger\mapsto\alpha\star W\star\alpha^*=(\alpha+\frac12\partial_{\alpha^*})(\alpha^*+\frac12\partial_\alpha)W$、$\hat a^\dagger\hat a\hat\rho\mapsto\alpha^*\star(\alpha\star W)=(\alpha^*-\frac12\partial_\alpha)(\alpha+\frac12\partial_{\alpha^*})W$、$\hat\rho\hat a^\dagger\hat a\mapsto(W\star\alpha^*)\star\alpha=(\alpha-\frac12\partial_{\alpha^*})(\alpha^*+\frac12\partial_\alpha)W$ を展開して足すと、$\lvert \alpha\rvert ^2W$ の項は係数 $1-\frac12-\frac12=0$ で消え、$\partial_\alpha\partial_{\alpha^*}W$ の係数は $\frac14+\frac18+\frac18=\frac12$ になる。1階の微分の項は $\frac14\alpha\partial_\alpha W+\frac34\partial_{\alpha^*}(\alpha^*W)-\frac14\alpha^*\partial_{\alpha^*}W+\frac14\partial_\alpha(\alpha W)$ で、$\alpha\partial_\alpha W=\partial_\alpha(\alpha W)-W$、$\alpha^*\partial_{\alpha^*}W=\partial_{\alpha^*}(\alpha^*W)-W$ と並べ替えると $\frac12\bigl(\partial_\alpha(\alpha W)+\partial_{\alpha^*}(\alpha^*W)\bigr)$ にまとまる。一般の $s$ では、次の段落の有限時間の解 $\chi_{s,\text{out}}$ を $t$ で微分して Fourier 変換すると（$\xi\partial_\xi$・$\xi^*\partial_{\xi^*}$ が $\partial_\alpha\alpha$・$\partial_{\alpha^*}\alpha^*$ に、$-\lvert \xi\rvert ^2$ が $\partial_\alpha\partial_{\alpha^*}$ に写る）、

$$\frac{\partial F_s}{\partial t}=\frac\Gamma2\Bigl[\partial_\alpha(\alpha F_s)+\partial_{\alpha^*}(\alpha^*F_s)+(1-s)\,\partial_\alpha\partial_{\alpha^*}F_s\Bigr]\tag{5.6.22}$$

を得る。1次の微分の項は原点へ縮む流れ（ドリフト）、2次の項は拡散で、拡散係数 $(1-s)\Gamma/2$ が並べ方で変わる。

$P$（$s=1$）には拡散が無く、損失は 5.6.4節で見たとおり純粋な縮小である。$W$ には $\Gamma/2$、$Q$ には $\Gamma$ の拡散が付く。(5.6.22) の有限時間の解は、(5.6.17) に $\mathrm{e}^{s\lvert \xi\rvert ^2/2}$ を掛けた $\chi_{s,\text{out}}(\xi)=\chi_{s,\text{in}}(\sqrt\eta\xi)\mathrm{e}^{-(1-\eta)(1-s)\lvert \xi\rvert ^2/2}$（$\eta=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$）で、「$\sqrt\eta$ 倍に縮めてから $G_{(1-\eta)(1-s)/2}$ でならす」の形をしている。熱的な光 $F_s=G_{\bar n+(1-s)/2}$ が $\bar n\to\bar n\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ と冷えていくことは、3つの $s$ のどれでも (5.6.22) の解になっていることで確かめることができる。密度行列（第4部）の Lindblad 方程式が、位相空間の上では古典の確率過程の Fokker–Planck 方程式と同じ形に写る。これが「密度行列 ↔ 位相空間」の橋（第5部第2章）を開放系まで延ばしたものである。

ほかの部との接続

$Q$ の背後にある関数 $\langle \alpha | \psi \rangle \mathrm{e}^{\lvert \alpha\rvert ^2/2}$ は、第5部第4章で Hudson の定理の証明に使った Bargmann 変換 $F(\alpha^*)$ で、第10部第4章の正則偏極（Bargmann–Fock 表示）で波動関数そのものになる。幾何学的量子化の言葉では、$Q$ は正則偏極で書いた状態の絶対値の2乗である。コヒーレント状態の完全性 $\int| \alpha \rangle \langle \alpha |\mathrm{d}^2\alpha/\pi=1$ を時間の各刻みに挟むと、第6部第6章のコヒーレント状態の経路積分になる。光の量子化そのもの（モードごとの $\hat a$ の起源）は 第6部第1章と 光学と量子エレクトロニクス 第30章にある。