コヒーレント状態とスクイーズド状態：楕円の地図

量子力学の様々な構成方法　第5部 第6章 §5.6.3　★★ Gauss 型の状態は3つの分布がどれも Gauss 関数で、各直交位相の分散が $s$ ごとに $\frac14$ ずつずれる。スクイーズド状態では $P$ の分散が負になり、$P$ は関数として存在しない

変位は3つの分布をそろって平行移動する

コヒーレント状態 $| \alpha_0 \rangle =\hat D(\alpha_0)| 0 \rangle$ では、$\hat\rho=| \alpha_0 \rangle \langle \alpha_0 |$ が (5.6.8) の形そのものなので $P=\delta^2(\alpha-\alpha_0)$ である。命題 5.6.3 から $W=G_{1/2}(\alpha-\alpha_0)=\frac2\pi\mathrm{e}^{-2\lvert \alpha-\alpha_0\rvert ^2}$、$Q=G_1(\alpha-\alpha_0)$ となる。

一般の状態を変位させたときも同じことが起こる。$\hat D(\beta)^\dagger\hat D(\xi)\hat D(\beta)=\hat D(\xi)\mathrm{e}^{\xi\beta^*-\xi^*\beta}$（$\hat D(\beta)^\dagger\hat a\hat D(\beta)=\hat a+\beta$ から）なので、$\hat\rho\to\hat D(\beta)\hat\rho\hat D(\beta)^\dagger$ で $\chi_s(\xi)\to\chi_s(\xi)\mathrm{e}^{\xi\beta^*-\xi^*\beta}$、Fourier 変換すると $F_s(\alpha)\to F_s(\alpha-\beta)$ となる。外から古典の電流でモードを駆動すると変位が起こるので、駆動は3つの分布をそろって $\beta$ だけ平行移動させる。これは 第5部第2章の「線形の Heisenberg 発展では $W$ は古典の流れで運ばれる」の特別な場合で、$P$ と $Q$ にも同じことが成り立つ。

スクイーズド真空

スクイーズ演算子 $\hat S(r)=\exp[r(\hat a^2-\hat a^{\dagger2})/2]$（光学と量子エレクトロニクス 第31章の $\hat S(\zeta)$ で $\zeta=r$ を実数に選んだもの）は$\hat S^\dagger\hat a\hat S=\hat a\cosh r-\hat a^\dagger\sinh r$ を与え、$\hat X_1\to\mathrm{e}^{-r}\hat X_1$、$\hat X_2\to\mathrm{e}^{r}\hat X_2$ と直交位相を伸び縮みさせる。これは面積を保つ線形の正準変換なので、第5部第2章の命題（$W_t=W_0\circ M^{-1}$）から、スクイーズド真空 $| r \rangle =\hat S(r)| 0 \rangle$ の Wigner 関数は真空の $W$ を引き伸ばしたもので

$$W(\alpha)=\frac2\pi\exp\bigl(-2\mathrm{e}^{2r}X_1^2-2\mathrm{e}^{-2r}X_2^2\bigr),\qquad \mathrm{Var}\,X_1=\frac{\mathrm{e}^{-2r}}{4},\quad\mathrm{Var}\,X_2=\frac{\mathrm{e}^{2r}}{4}\tag{5.6.11}$$

である。前置きの係数は面積を保つことから変わらない。$Q$ は命題 5.6.3 で $W$ を各直交位相の分散 $\frac14$ の Gauss 関数でならしたもので、Gauss 関数どうしの畳み込みでは分散が足されるから

$$Q(\alpha)=\frac{1}{2\pi\sqrt{V_1V_2}}\exp\Bigl(-\frac{X_1^2}{2V_1}-\frac{X_2^2}{2V_2}\Bigr),\qquad V_{1,2}=\frac{1+\mathrm{e}^{\mp2r}}{4},\qquad\sqrt{V_1V_2}=\frac{\cosh r}{2}\tag{5.6.12}$$

となる。原点の値 $Q(0)=1/(\pi\cosh r)$ は、(5.6.7) の $\lvert \langle 0 | r \rangle \rvert ^2/\pi$ と一致する（$\langle 0 | r \rangle =1/\sqrt{\cosh r}$）。

$P$ を同じ考えで出そうとすると、各直交位相の分散を $W$ から $\frac14$ 引くことになり、$X_1$ の方向の「分散」は $(\mathrm{e}^{-2r}-1)/4<0$ になる。負の分散の Gauss 関数は存在しない。特性関数で言えば、$\xi=\mathrm{i} k$（$k$ は実数。$\mathrm{e}^{\xi\alpha^*-\xi^*\alpha}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kX_1}$ で $X_1$ の方向を見る）で

$$\chi_1(\mathrm{i} k)=\chi_0(\mathrm{i} k)\mathrm{e}^{k^2/2}=\exp\Bigl(\frac{k^2}{2}\bigl(1-\mathrm{e}^{-2r}\bigr)\Bigr)$$

が $k\to\infty$ で Gauss 関数のように増える。多項式でおさえられない関数の Fourier 変換は、緩増加超関数（Schwartz の意味の超関数）としても存在しない。スクイーズド状態の $P$ は、関数としても通常の超関数としても書けない。

図 5.6.1　1つのモードの位相空間に描いた Gauss 型の状態の $W$ の楕円（各方向の標準偏差を半径に取った等高線。点線は厳密な形）。真空とコヒーレント状態は半径 $\frac12$ の円、スクイーズド状態（$r=0.69$、約 6 dB）は面積が同じで向きで太さの違う楕円、熱的な光は真空より大きい円。左下の灰色は同じスクイーズド状態の $Q$ で、各直交位相の分散に $\frac14$ を足すので、細い向きでも半径 $\frac12$ を下回らない。$P$ は逆に $\frac14$ を引くので、細い向きで分散が負になる。

Gauss 型の状態の分類

一般の Gauss 型の状態（$W$ が Gauss 関数の状態。変位・スクイーズ・回転・熱的な雑音の組み合わせ）は、$(X_1,X_2)$ の共分散行列 $\mathsf V$ で決まる。命題 5.6.3 から、$F_s$ の共分散行列は $\mathsf V-\frac s4\mathsf 1$ で、$s=1$ の $P$ が正の Gauss 関数になるのは $\mathsf V-\frac14\mathsf 1$ が正定値のとき、つまりどの向きの直交位相の分散も真空の $\frac14$ を下回らないときに限る。どの向きかで $\frac14$ を下回る状態（スクイーズを持つ状態）の $P$ は関数でない。$P$ が非負の確率分布として書ける状態を古典の光と呼ぶ規約は 光学と量子エレクトロニクス 第32章にあり、そこで $P\ge0$ から $g^{(2)}(0)\ge1$ が出ることを示している。Gauss 型の状態では、古典の光であることと、どの向きの雑音も真空以上であることが同じ条件になる。