共通例題⑤：熱的な光の P・W・Q

量子力学の様々な構成方法　第5部 第6章 §5.6.2　★★★ 熱平衡の光の $Q$ を Fock 空間の和で出し、Gauss 関数の分散の引き算で $P=G_{\bar n}$、$W=G_{\bar n+1/2}$ を得る。$\int\lvert \alpha\rvert ^2$ が $\bar n$・$\bar n+\frac12$・$\bar n+1$ と並べ方ごとに違う

$Q$ から始めて $P$ と $W$ を出す

熱平衡の光の1モードは、第4部第4章・第6部第5章の

$$\hat\rho=\sum_{n=0}^\infty(1-q)q^n| n \rangle \langle n |,\qquad q=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}=\frac{\bar n}{\bar n+1},\qquad \bar n=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}$$

である。3つの分布のうち (5.6.7) の $Q$ は最も直接に計算することができる。$\langle n | \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\alpha^n/\sqrt{n!}$ から

$$Q(\alpha)=\frac{1-q}{\pi}\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(q\lvert \alpha\rvert ^2)^n}{n!}=\frac{1-q}{\pi}\mathrm{e}^{-(1-q)\lvert \alpha\rvert ^2},\qquad 1-q=\frac{1}{\bar n+1}$$

となり、$Q=G_{\bar n+1}$ である。命題 5.6.3 で $Q=P*G_1$、Gauss 関数の畳み込みは $\sigma$ の足し算なので、$P$ が Gauss 関数なら $P=G_{\bar n}$ のはずである。実際 $G_{\bar n}*G_1=G_{\bar n+1}$ で、特性関数は一意に決まるので、熱的な光の3つの分布は

$$P(\alpha)=\frac{\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\bar n}}{\pi\bar n},\qquad W(\alpha)=\frac{2}{\pi(2\bar n+1)}\mathrm{e}^{-2\lvert \alpha\rvert ^2/(2\bar n+1)},\qquad Q(\alpha)=\frac{\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/(\bar n+1)}}{\pi(\bar n+1)}\tag{5.6.9}$$

である。これは共通例題⑤の正答表と同じ形である。$W=G_{\bar n+1/2}$ を $x,p$ に戻すと、$\frac{1}{2\bar n+1}=\tanh\frac{\beta\hbar\omega}{2}$ と (5.6.2) から$W(x,p)=\frac{\tanh(\beta\hbar\omega/2)}{\pi\hbar}\exp\bigl(-2\tanh(\beta\hbar\omega/2)H/(\hbar\omega)\bigr)$ で、第5部第5章が $W_n$ の重み和で、第5部第3章が Bloch 方程式で出した熱平衡の $W$ と一致する。

$P$ が正しいことは (5.6.8) に戻しても確かめることができる。$\langle n | \hat\rho | n \rangle =\int P(\alpha)\lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2\mathrm{d}^2\alpha$ に $\mathrm{d}^2\alpha=\pi\,\mathrm{d}(\lvert \alpha\rvert ^2)$ を使うと

$$\langle n | \hat\rho | n \rangle =\frac{1}{\bar n\,n!}\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t/\bar n}\mathrm{e}^{-t}t^n\,\mathrm{d} t=\frac{1}{\bar n}\Bigl(\frac{\bar n}{\bar n+1}\Bigr)^{n+1}=\frac{\bar n^{\,n}}{(\bar n+1)^{n+1}}$$

で、Bose–Einstein 分布 $(1-q)q^n$ に戻る。

並べ方ごとの光子数と、古典の場の集団

定理 5.6.2 で $m=n=1$ と置くと、(5.6.9) の3つの分布の $\lvert \alpha\rvert ^2$ の平均はそれぞれ

$$\int P\lvert \alpha\rvert ^2=\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\bar n,\qquad \int W\lvert \alpha\rvert ^2=\Bigl\langle\frac{\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger}{2}\Bigr\rangle=\bar n+\frac12,\qquad \int Q\lvert \alpha\rvert ^2=\langle \hat a\hat a^\dagger \rangle =\bar n+1\tag{5.6.10}$$

を与える（$\int G_\sigma\lvert \alpha\rvert ^2\mathrm{d}^2\alpha=\sigma$）。差の $\frac12$ と $1$ は交換関係 $\hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1$ から出る。$W$ の $\bar n+\frac12$ はエネルギー $\hbar\omega(\bar n+\frac12)$ の零点を含み、$P$ の $\bar n$ は光子検出器が数える数である（検出器が正規順序の量を測ることは光学と量子エレクトロニクス 第32章）。同じ章の強度の相関 $g^{(2)}(0)=\langle (\hat a^\dagger)^2\hat a^2 \rangle /\bar n^2$ も、$P$ の4次の積分 $\int P\lvert \alpha\rvert ^4=2\bar n^2$ から $g^{(2)}(0)=2$ と出る。

熱的な光の $P$ は至る所で正の Gauss 関数なので、(5.6.8) は、複素振幅 $\alpha$ が平均 0・分散 $\bar n$ の Gauss 分布に従って揺らぐ古典の場の集団（位相がでたらめな古典の雑音）として読むことができる。光子数の統計も相関も、この古典の集団の平均と区別がつかない。熱的な光は、5.6.3節以降の状態と違い、量子に固有の性質を $P$ の中に持たない光である。