量子力学の様々な構成方法 第6部 第5章 §6.5.1 ★★★ 粒子数の違う状態を混ぜる熱平衡の状態は、粒子数を固定しない Fock 空間の上で初めて書け、Gibbs の変分原理で一意に決まる
第6部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「共通例題」と「得意な問題」の境目を受け持ち、第4部（密度行列）との合流点になる。第1章で振動子の代数をモードごとに並べて Fock 空間を作り、第2章でそれが基準（第1部）の N N N T T T
第4部第4章（第4部第4章 ）では、熱平衡の状態を密度演算子 ρ ^ β = e − β H ^ / Z \hat\rho_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ β = e − β H ^ / Z N N N Z N = Tr H N ± e − β H ^ Z_N=\operatorname{Tr}_{\mathcal{H}_N^\pm}\mathrm{e}^{-\beta\hat H} Z N = Tr H N ± e − β H ^ 第6部第2章 ）で見たとおり置換の和になり、N = 2 , 3 N=2,3 N = 2 , 3
ρ ^ G = e − β ( H ^ − μ N ^ ) Ξ \hat\rho_{\mathrm G}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta(\hat H-\mu\hat N)}}{\Xi} ρ ^ G = Ξ e − β ( H ^ − μ N ^ )
に置く。新しい公理は足していない。第4部第4章の熱平衡の状態の選び方（Gibbs の変分原理）を、保存量 N ^ \hat N N ^ N ^ \hat N N ^ ρ ^ G \hat\rho_{\mathrm G} ρ ^ G 6.5.2 節）。置換の和で苦労した第2章の計算は、この積の対数を z = e β μ z=\mathrm{e}^{\beta\mu} z = e β μ
章の後半では、化学ポテンシャル μ \mu μ 6.5.3 節）、共通例題①の調和ポテンシャルに原子を多数入れたときの Bose–Einstein 凝縮（6.5.4 節）、1粒子密度行列と2粒子の相関（6.5.5 節。共通例題③の伝播関数が虚時間で現れる）を扱い、6.5.6 節の橋の節で、Fock 空間の大正準の状態と基準の正準の状態が両向きに移り合うことを証明する。
記号は第2章に合わせる。複号は上がボース粒子、下がフェルミ粒子である。モードの添字を α \alpha α ε α \varepsilon _\alpha ε α a ^ α † , a ^ α \hat a_\alpha^\dagger,\hat a_\alpha a ^ α † , a ^ α c ^ α † , c ^ α \hat c_\alpha^\dagger,\hat c_\alpha c ^ α † , c ^ α a ^ \hat a a ^ f ( ε ) f(\varepsilon ) f ( ε ) n B ( ε ) n_{\mathrm B}(\varepsilon ) n B ( ε ) n B ( ω ) n_{\mathrm B}(\omega) n B ( ω ) μ = 0 \mu=0 μ = 0 ε = ℏ ω \varepsilon =\hbar\omega ε = ℏ ω
粒子をやりとりする熱浴と、大正準の状態
第4部第4章の議論を思い出す。小さな系 A が大きな熱浴 B に弱く触れ、全体のエネルギーが一定のとき、A の状態は熱浴の状態数の対数を1次まで展開してρ ^ A ∝ e − β H ^ A \hat\rho_A\propto\mathrm{e}^{-\beta\hat H_A} ρ ^ A ∝ e − β H ^ A W B ( E − E A , N t o t − N A ) W_B(E-E_A,\,N_{\mathrm{tot}}-N_A) W B ( E − E A , N tot − N A ) E A E_A E A N A N_A N A ∂ ln W B / ∂ E = β \partial\ln W_B/\partial E=\beta ∂ ln W B / ∂ E = β ∂ ln W B / ∂ N = − β μ \partial\ln W_B/\partial N=-\beta\mu ∂ ln W B / ∂ N = − β μ
W B ( E − E A , N t o t − N A ) ≈ W B ( E , N t o t ) e − β ( E A − μ N A ) W_B(E-E_A,N_{\mathrm{tot}}-N_A)\approx W_B(E,N_{\mathrm{tot}})\,\mathrm{e}^{-\beta(E_A-\mu N_A)} W B ( E − E A , N tot − N A ) ≈ W B ( E , N tot ) e − β ( E A − μ N A )
となり、μ \mu μ N A N_A N A 0 , 1 , 2 , … 0,1,2,\dots 0 , 1 , 2 , … F ± \mathcal F_\pm F ±
定義 6.5.1（大正準の状態）
Fock 空間 F ± \mathcal F_\pm F ± H ^ \hat H H ^ N ^ \hat N N ^ [ H ^ , N ^ ] = 0 \left[\hat H,\,\hat N\right]=0 [ H ^ , N ^ ] = 0
Ξ ( β , μ ) ≔ Tr F ± e − β ( H ^ − μ N ^ ) < ∞ (6.5.1) \Xi(\beta,\mu)\coloneqq\operatorname{Tr}_{\mathcal F_\pm}\mathrm{e}^{-\beta(\hat H-\mu\hat N)}<\infty\tag{6.5.1} Ξ ( β , μ ) : = Tr F ± e − β ( H ^ − μ N ^ ) < ∞ ( 6.5.1 )
のとき、
ρ ^ G ≔ e − β ( H ^ − μ N ^ ) Ξ (6.5.2) \hat\rho_{\mathrm G}\coloneqq\frac{\mathrm{e}^{-\beta(\hat H-\mu\hat N)}}{\Xi}\tag{6.5.2} ρ ^ G : = Ξ e − β ( H ^ − μ N ^ ) ( 6.5.2 )
を逆温度 β \beta β μ \mu μ 大正準の状態 、Ξ \Xi Ξ 大分配関数 と呼ぶ。
[ H ^ , N ^ ] = 0 \left[\hat H,\,\hat N\right]=0 [ H ^ , N ^ ] = 0 N ^ \hat N N ^ ρ ^ G \hat\rho_{\mathrm G} ρ ^ G H ^ \hat H H ^ H ^ \hat H H ^ N ^ \hat N N ^ N ^ \hat N N ^ H N ± \mathcal{H}_N^\pm H N ± H N ± \mathcal{H}_N^\pm H N ± H ^ \hat H H ^ E i ( N ) E_i^{(N)} E i ( N )
Ξ = ∑ N = 0 ∞ ∑ i e − β ( E i ( N ) − μ N ) = ∑ N = 0 ∞ z N Z N , z ≔ e β μ , Z N ≔ Tr H N ± e − β H ^ (6.5.3) \Xi=\sum_{N=0}^\infty\sum_i\mathrm{e}^{-\beta(E_i^{(N)}-\mu N)}=\sum_{N=0}^\infty z^NZ_N,\qquad z\coloneqq\mathrm{e}^{\beta\mu},\quad Z_N\coloneqq\operatorname{Tr}_{\mathcal{H}_N^\pm}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\tag{6.5.3} Ξ = N = 0 ∑ ∞ i ∑ e − β ( E i ( N ) − μ N ) = N = 0 ∑ ∞ z N Z N , z : = e β μ , Z N : = Tr H N ± e − β H ^ ( 6.5.3 )
で、記法の正本の Ξ = ∑ N e β μ N Z N \Xi=\sum_N\mathrm{e}^{\beta\mu N}Z_N Ξ = ∑ N e β μ N Z N z z z 逃散能 （fugacity）と呼ばれる。Z 0 = 1 Z_0=1 Z 0 = 1
Gibbs の変分原理で選ぶ
熱浴の展開を使わない選び方もある。第4部第4章の Gibbs の変分原理を、H ^ \hat H H ^ K ^ ≔ H ^ − μ N ^ \hat K\coloneqq\hat H-\mu\hat N K ^ : = H ^ − μ N ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^
Ω [ ρ ^ ] ≔ Tr ρ ^ ( H ^ − μ N ^ ) − k B T S ( ρ ^ ) , S ( ρ ^ ) = − Tr ρ ^ ln ρ ^ (6.5.4) \Omega[\hat\rho]\coloneqq\operatorname{Tr}\hat\rho(\hat H-\mu\hat N)- k_{\mathrm B} T\,S(\hat\rho),\qquad S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho\tag{6.5.4} Ω [ ρ ^ ] : = Tr ρ ^ ( H ^ − μ N ^ ) − k B T S ( ρ ^ ) , S ( ρ ^ ) = − Tr ρ ^ ln ρ ^ ( 6.5.4 )
とおくと、第4部第4章の Klein の不等式から
Ω [ ρ ^ ] − Ω = k B T D ( ρ ^ ∥ ρ ^ G ) ≥ 0 , Ω ≔ − k B T ln Ξ (6.5.5) \Omega[\hat\rho]-\Omega= k_{\mathrm B} T\,D(\hat\rho\|\hat\rho_{\mathrm G})\ge0,\qquad\Omega\coloneqq- k_{\mathrm B} T\ln\Xi\tag{6.5.5} Ω [ ρ ^ ] − Ω = k B T D ( ρ ^ ∥ ρ ^ G ) ≥ 0 , Ω : = − k B T ln Ξ ( 6.5.5 )
が成り立つ。証明は第4部第4章と同じ1行で、ln ρ ^ G = − β K ^ − ln Ξ \ln\hat\rho_{\mathrm G}=-\beta\hat K-\ln\Xi ln ρ ^ G = − β K ^ − ln Ξ D ( ρ ^ ∥ ρ ^ G ) = Tr ρ ^ ln ρ ^ − Tr ρ ^ ln ρ ^ G D(\hat\rho\|\hat\rho_{\mathrm G})=\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho_{\mathrm G} D ( ρ ^ ∥ ρ ^ G ) = Tr ρ ^ ln ρ ^ − Tr ρ ^ ln ρ ^ G ρ ^ = ρ ^ G \hat\rho=\hat\rho_{\mathrm G} ρ ^ = ρ ^ G ρ ^ G \hat\rho_{\mathrm G} ρ ^ G β \beta β μ \mu μ Ω \Omega Ω グランドポテンシャル と呼ぶ。
ln Ξ \ln\Xi ln Ξ β μ \beta\mu β μ
⟨ N ^ ⟩ = k B T ∂ ln Ξ ∂ μ , ⟨ N ^ 2 ⟩ − ⟨ N ^ ⟩ 2 = k B T ∂ ⟨ N ^ ⟩ ∂ μ . (6.5.6) \langle \hat N \rangle = k_{\mathrm B} T\frac{\partial \ln\Xi}{\partial \mu},\qquad
\langle \hat N^2 \rangle -\langle \hat N \rangle ^2= k_{\mathrm B} T\frac{\partial \langle \hat N \rangle }{\partial \mu}.\tag{6.5.6} ⟨ N ^ ⟩ = k B T ∂ μ ∂ ln Ξ , ⟨ N ^ 2 ⟩ − ⟨ N ^ ⟩ 2 = k B T ∂ μ ∂ ⟨ N ^ ⟩ . ( 6.5.6 )
1つ目は ∂ ∂ μ Tr e − β K ^ = β Tr N ^ e − β K ^ \frac{\partial }{\partial \mu}\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat K}=\beta\operatorname{Tr}\hat N\mathrm{e}^{-\beta\hat K} ∂ μ ∂ Tr e − β K ^ = β Tr N ^ e − β K ^ [ H ^ , N ^ ] = 0 \left[\hat H,\,\hat N\right]=0 [ H ^ , N ^ ] = 0 μ \mu μ Tr N ^ 2 e − β K ^ / Ξ \operatorname{Tr}\hat N^2\mathrm{e}^{-\beta\hat K}/\Xi Tr N ^ 2 e − β K ^ /Ξ ( Tr N ^ e − β K ^ / Ξ ) 2 (\operatorname{Tr}\hat N\mathrm{e}^{-\beta\hat K}/\Xi)^2 ( Tr N ^ e − β K ^ /Ξ ) 2 β \beta β μ \mu μ k B T k_{\mathrm B} T k B T
例題 6.5.1 1つのモードの粒子数の揺らぎ ★★
オリジナル エネルギー ε \varepsilon ε
(1) ボース粒子のとき、Ξ \Xi Ξ ⟨ n ^ ⟩ \langle \hat n \rangle ⟨ n ^ ⟩ (6.5.6) の2つ目の式から V a r ( n ^ ) = n ˉ ( 1 + n ˉ ) \mathrm{Var}(\hat n)=\bar n(1+\bar n) Var ( n ^ ) = n ˉ ( 1 + n ˉ ) (2) フェルミ粒子のとき、同じく V a r ( n ^ ) = n ˉ ( 1 − n ˉ ) \mathrm{Var}(\hat n)=\bar n(1-\bar n) Var ( n ^ ) = n ˉ ( 1 − n ˉ ) (3) β ( ε − μ ) = ln 2 \beta(\varepsilon -\mu)=\ln2 β ( ε − μ ) = ln 2 n ˉ \bar n n ˉ
解答 (1) Fock 空間の基底は ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n ∣ 0 ⟩ / n ! | n \rangle =(\hat a^\dagger)^n| 0 \rangle /\sqrt{n!} ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n ∣0 ⟩ / n ! n = 0 , 1 , 2 , … n=0,1,2,\dots n = 0 , 1 , 2 , … K ^ = ( ε − μ ) n ^ \hat K=(\varepsilon -\mu)\hat n K ^ = ( ε − μ ) n ^ y ≔ β ( ε − μ ) > 0 y\coloneqq\beta(\varepsilon -\mu)>0 y : = β ( ε − μ ) > 0
Ξ = ∑ n = 0 ∞ e − y n = 1 1 − e − y , n ˉ = k B T ∂ ln Ξ ∂ μ = − ∂ ln Ξ ∂ y = e − y 1 − e − y = 1 e y − 1 \Xi=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-yn}=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-y}},\qquad
\bar n= k_{\mathrm B} T\frac{\partial \ln\Xi}{\partial \mu}=-\frac{\partial \ln\Xi}{\partial y}=\frac{\mathrm{e}^{-y}}{1-\mathrm{e}^{-y}}=\frac{1}{\mathrm{e}^y-1} Ξ = n = 0 ∑ ∞ e − y n = 1 − e − y 1 , n ˉ = k B T ∂ μ ∂ ln Ξ = − ∂ y ∂ ln Ξ = 1 − e − y e − y = e y − 1 1
である（∂ y ∂ μ = − β \frac{\partial y}{\partial \mu}=-\beta ∂ μ ∂ y = − β k B T ∂ n ˉ ∂ μ = − ∂ n ˉ ∂ y = e y / ( e y − 1 ) 2 k_{\mathrm B} T\,\frac{\partial \bar n}{\partial \mu}=-\frac{\partial \bar n}{\partial y}=\mathrm{e}^y/(\mathrm{e}^y-1)^2 k B T ∂ μ ∂ n ˉ = − ∂ y ∂ n ˉ = e y / ( e y − 1 ) 2 e y = 1 + 1 / n ˉ \mathrm{e}^y=1+1/\bar n e y = 1 + 1/ n ˉ n ˉ 2 ( 1 + 1 / n ˉ ) = n ˉ ( 1 + n ˉ ) \bar n^2(1+1/\bar n)=\bar n(1+\bar n) n ˉ 2 ( 1 + 1/ n ˉ ) = n ˉ ( 1 + n ˉ ) y ≤ 0 y\le0 y ≤ 0 μ < ε \mu<\varepsilon μ < ε
(2) 基底は ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ | 0 \rangle ,| 1 \rangle ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩ Ξ = 1 + e − y \Xi=1+\mathrm{e}^{-y} Ξ = 1 + e − y n ˉ = e − y / ( 1 + e − y ) = 1 / ( e y + 1 ) \bar n=\mathrm{e}^{-y}/(1+\mathrm{e}^{-y})=1/(\mathrm{e}^y+1) n ˉ = e − y / ( 1 + e − y ) = 1/ ( e y + 1 ) μ \mu μ − ∂ n ˉ ∂ y = e y / ( e y + 1 ) 2 = n ˉ 2 ( 1 / n ˉ − 1 ) = n ˉ ( 1 − n ˉ ) -\frac{\partial \bar n}{\partial y}=\mathrm{e}^y/(\mathrm{e}^y+1)^2=\bar n^2(1/\bar n-1)=\bar n(1-\bar n) − ∂ y ∂ n ˉ = e y / ( e y + 1 ) 2 = n ˉ 2 ( 1/ n ˉ − 1 ) = n ˉ ( 1 − n ˉ ) n ^ 2 = n ^ \hat n^2=\hat n n ^ 2 = n ^ ⟨ n ^ 2 ⟩ − n ˉ 2 = n ˉ − n ˉ 2 \langle \hat n^2 \rangle -\bar n^2=\bar n-\bar n^2 ⟨ n ^ 2 ⟩ − n ˉ 2 = n ˉ − n ˉ 2
(3) e y = 2 \mathrm{e}^y=2 e y = 2 n ˉ = 1 \bar n=1 n ˉ = 1 2 2 2 n ˉ = 1 / 3 \bar n=1/3 n ˉ = 1/3 2 / 9 2/9 2/9 n ˉ ( 1 + n ˉ ) \bar n(1+\bar n) n ˉ ( 1 + n ˉ ) n ˉ 2 \bar n^2 n ˉ 2 ( 1 − q ) q n (1-q)q^n ( 1 − q ) q n verify_ch6-05.py で、1つのモードの状態の和と、相互作用のある2モードの系の (6.5.6) を確かめた。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
