この章のまとめ

(1) モードは $1\uparrow,1\downarrow,2\uparrow,2\downarrow$ の4つのフェルミのモードなので、Fock 空間は $2^4=16$ 次元である。電子2個の部分は4つのモードから2つを選ぶ $\binom42=6$ 次元で（第2章の $\dim\mathcal{H}_N^-=\binom dN$）、そのうち上向き1個・下向き1個は $2\times2=4$ 次元である。残りの2つは両方上向きと両方下向きの状態である。

(2) 1粒子の行列 $\begin{pmatrix}0&-t\\-t&0\end{pmatrix}$ の固有値は $\mp t$ で、結合軌道 $\hat c_{+\sigma}=(\hat c_{1\sigma}+\hat c_{2\sigma})/\sqrt2$ が $-t$、反結合軌道が $+t$ である。基底状態は結合軌道に上向きと下向きを1個ずつ入れた $\hat c_{+\uparrow}^\dagger\hat c_{+\downarrow}^\dagger| 0 \rangle$ で、$E=-2t$ である。この状態では各サイトの $\langle \hat n_{i\sigma} \rangle =\frac12$ で、上向きと下向きは独立に詰まっているので $\langle \hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow} \rangle =\frac14$、2つのサイトの和は $\frac12$ になる。

(3) 全スピンの $z$ 成分 0 の部分空間の基底を $| \uparrow,\downarrow \rangle =\hat c_{1\uparrow}^\dagger\hat c_{2\downarrow}^\dagger| 0 \rangle$、$| \downarrow,\uparrow \rangle =\hat c_{1\downarrow}^\dagger\hat c_{2\uparrow}^\dagger| 0 \rangle$、$| \uparrow\downarrow,0 \rangle =\hat c_{1\uparrow}^\dagger\hat c_{1\downarrow}^\dagger| 0 \rangle$、$| 0,\uparrow\downarrow \rangle =\hat c_{2\uparrow}^\dagger\hat c_{2\downarrow}^\dagger| 0 \rangle$ に取る。ホッピングは1サイトに1個ずつの状態と2個詰まりの状態をつなぐ。反交換関係で符号を調べると、2個詰まりの対称な組み合わせ $(| \uparrow\downarrow,0 \rangle +| 0,\uparrow\downarrow \rangle )/\sqrt2$ と1個ずつの1重項 $(| \uparrow,\downarrow \rangle -| \downarrow,\uparrow \rangle )/\sqrt2$ の2つだけが $-2t$ の行列要素でつながり、残りの2つの組み合わせはエネルギー $0$ と $U$ の固有状態になる。つながった2つの行列は $\begin{pmatrix}0&-2t\\-2t&U\end{pmatrix}$ で、小さいほうの固有値が

$$E_g=\frac{U-\sqrt{U^2+16t^2}}{2}$$

である。Hellmann–Feynman の定理 $\mathrm{d} E_g/\mathrm{d} U=\langle \sum_i\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow} \rangle$ から、二重占有の数は

$$\Bigl\langle\sum_i\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}\Bigr\rangle=\frac12\Bigl(1-\frac{U}{\sqrt{U^2+16t^2}}\Bigr)$$

で、$U=0$ で (2) の $\frac12$ に戻る。$U=4t$ では $E_g=(4-\sqrt{32})t/2=-0.828t$、二重占有の数は $0.146$ で、相互作用のため電荷のゆらぎが抑えられている。$U\gg t$ では $E_g\approx-4t^2/U$ で、6.4.4 節の終わりに述べた $J=4t^2/U$ の1重項のエネルギー $-J$ に当たる。

(4) 両方上向きの状態は、Pauli の排他律で2つの上向きの軌道（結合と反結合）を1個ずつ埋めるしかなく、$\hat c_{1\uparrow}^\dagger\hat c_{2\uparrow}^\dagger| 0 \rangle$ に等しい。運動エネルギーは $-t+t=0$、同じサイトに逆向きの対が無いので $U$ の項も 0 で、エネルギーは $U$ によらず $0$ である。2個とも結合軌道に入れた Slater 行列式では、運動エネルギー $-2t$ に、(2) の二重占有の数 $\frac12$ を掛けた $U/2$ が加わり、エネルギーは $-2t+U/2$ である。この2つの平均場の状態を比べると、$-2t+U/2>0$、すなわち $U>4t$ でスピンがそろった状態のほうが低くなる。これは 6.4.5 節の「運動エネルギーの損と $U$ の得の比較」の2サイト版である。しかし (3) の厳密な $E_g$ は $\sqrt{U^2+16t^2}>U$ からどの $U$ でも負で、スピンのそろった状態の $0$ より低い。厳密な基底状態はスピンが逆向きの1重項で、強磁性にはならない。制限した平均場は、2個の電子が同じサイトを避け合う相関を入れられないので $U$ のエネルギーを過大に見積もり、そのためにスピンのそろった状態が有利に見えた。

(5) 4個詰まった状態 $| \mathrm{full} \rangle$ のエネルギーは、運動エネルギー 0（結合と反結合が全部埋まる）と $U$ の項 $2U$ で $2U$ である。電子3個の状態は $\hat c_{k\sigma}| \mathrm{full} \rangle$ で、(6.4.10) の正孔 $\hat d_{k\sigma}^\dagger$ が1個ある状態である。正孔のいるサイトでは電子が1個だけなので、そのサイトの $U$ の項が消え、$U$ の項は常に $U$ である。運動エネルギーは、詰まった4つの準位の和 $0$ から抜けた準位のエネルギーを引いたもので、結合軌道から抜くと $+t$、反結合軌道から抜くと $-t$ になる。したがって電子3個の準位は $U-t$ と $U+t$（それぞれスピンの向きの2重縮退）で、$U=4t$ では基底が $3t$ である。電子1個の準位 $\mp t$ と比べると、正孔の言葉では「1個の粒子が同じ $t$ で飛び移る問題」に一定の $U$ が足されたものになっている。(1)〜(5) の数値は、16次元の Fock 空間の行列を対角化して verify_ch6-04.py で確かめた。