橋：物性の言葉と基準の波動関数

量子力学の様々な構成方法　第6部 第4章 §6.4.6　★★★ マグノン・正孔・Hubbard 模型・Stoner の平均場は、どれも基準の $N$ 粒子の波動関数（スピンの波動関数・Slater 行列式）に書き直せる

この章の結果は地図のどこにあるか

この章の結果は、同値性の地図（第1部第1章）の「状態ベクトル ↔ 第二量子化」と「行列力学 → 第二量子化」の2本の橋の上にある。第2章でこの2本の橋は粒子数ごとに両向きに証明してあるので、この章で第二量子化の言葉で書いたものは、どれも基準の言葉に戻せる。ただし戻した形は計算に向かないことが多く、それがこの部の言う「得意な問題」の意味である。表 6.4.1 に対応をまとめる。

1マグノンの状態を両方の言葉で解く

命題 6.4.3 を基準の言葉で証明し直す。スピン $\frac12$ の場合に限ると、Dirac の恒等式

$$\hat P_{ij}=\frac12+2\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j$$

（$\hat P_{ij}$ はサイト $i$ と $j$ のスピンの状態を入れ替える演算子。ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第2章）から、(6.4.6) は $\hat H=J\sum_j(\hat P_{j,j+1}/2-1/4)$ である。1つだけ下を向いたスピンの状態を、下を向いたサイト $j$ の関数 $\psi(j)$ で書く。これは第2章の言葉では、サイトの上を動く「1個の粒子」の波動関数である。

$j$ に触れない $N_{\mathrm s}-2$ 本の結合では $\hat P=1$ で、それぞれ $J/4$ を与える。$j$ に触れる2本の結合では $\hat P$ が下を向いたスピンを隣へ動かす。したがって

$$(\hat H\psi)(j)=J\Bigl[\frac{N_{\mathrm s}-4}{4}\psi(j)+\frac12\bigl(\psi(j+1)+\psi(j-1)\bigr)\Bigr]$$

で、平面波 $\psi(j)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ を入れると固有値は $J(N_{\mathrm s}-4)/4+J\cos ka=JN_{\mathrm s}/4+\lvert J\rvert (1-\cos ka)$ になる（$J=-\lvert J\rvert$）。$S=\frac12$ では $JN_{\mathrm s}S^2=JN_{\mathrm s}/4$、$2\lvert J\rvert S=\lvert J\rvert$ なので、(6.4.8) と一致する。逆に、命題 6.4.3 の $\hat b_k^\dagger| F \rangle =N_{\mathrm s}^{-1/2}\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}\hat S_j^-| F \rangle$ の各項 $\hat S_j^-| F \rangle$ は「サイト $j$ だけが下を向いた状態」なので、その係数がそのまま $\psi(j)$ である。こうして2つの言葉の1マグノンの状態は同じベクトルで、同じ固有値を持つ。

ほかの部との接続

Holstein–Primakoff 変換は、角運動量の代数（第2部第4章で行列力学として解いたもの）を、ボースの Fock 空間の $n\le2S$ の部分に実現したものである。ここで $2S$ が整数でないと部分空間が閉じない（$\hat S^-$ が $n=2S$ で止まらない）。スピンの大きさが半整数か整数に限られることは、幾何学的量子化では球面の量子化の整数条件 $2s\in\mathbb{Z}$ として現れる（第10部第5章）。

強磁性の基底状態 $| F \rangle$ は、全スピンの向きを変えた状態と縮退している。有限の $N_{\mathrm s}$ では、向きの違う基底状態は $\hat S_{\mathrm{tot}}^-$ で互いに移り、同じ Fock 空間の中にある。$N_{\mathrm s}\to\infty$ では、向きの違う全部そろった状態どうしは、どの有限個のスピンを動かしても移り合わなくなり、第8部で扱う「非同値な表現」に分かれる（第8部第3章・第8部第5章）。自発磁化を持つ状態を真空に選ぶことが、無限自由度では表現を選ぶことになる。

フォノン・マグノンの熱平衡（化学ポテンシャルの無い Bose 分布）と、電子の Fermi 分布は 第6部第5章で、Fermi の海の上の励起の経路積分は 第6部第6章で扱う。

学部の授業での書き方との対応

学部の固体物理の授業では、フォノンは「基準振動の量子化」、正孔は「価電子帯の空きを正の電荷の粒子と見なす約束」として、別々の場所で導入されることが多い。磁性の授業ではスピン波を古典的な歳差運動の波として導き、量子化は名前だけのこともある。この章の形では、これらはすべて「2次形式を対角化した生成演算子」か「真空の取り直し」のどちらかであり、同じ1つの手続きの例になっている。量子物理工学の第1回の Stoner 条件 $UN(E_{\mathrm F})\geq1$ は、この章の (6.4.17) で $N(E_{\mathrm F})=N_0$ としたものである。