半形式：偏極した切断に標準束の平方根を掛ける

量子力学の様々な構成方法　第10部 第5章 §10.5.1　★★★ 偏極を消す微分形式の平方根を切断に添えると、内積が座標によらずに決まり、演算子に Lie 微分の半分の補正が付く。実偏極では第10部第4章の半密度がこれにあたる

第10部第4章では、前量子化の空間を偏極で絞り、位置表示・運動量表示・Bargmann–Fock 表示を幾何の条件として取り出した（第10部第4章）。そこで残った不足は3つあった。1つ目は、正則偏極で調和振動子を量子化するとスペクトルが $\hbar\omega_0n$ になり、共通例題①の正答 $\hbar\omega_0(n+\frac12)$ の零点 $\frac12$ が欠けることである。2つ目は、第10部第3章のホロノミーの条件が $E=n\hbar\omega_0$ を与え、Bohr–Sommerfeld 条件の $\frac12$（Maslov の補正）が出ないことである（第10部第3章）。3つ目は、偏極を移す BKS の対の前因子で、自由粒子の伝播関数の位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ が第10部第4章の道具だけでは決まらなかったことである。

この章は第10部の部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値性 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、共通例題①②の後半と「得意な問題」を受け持つ。出発点に置くのは、偏極した切断に「偏極に沿う微分形式の平方根」（半形式）を掛けて組にするという補正である。1節で半形式を定義し、第10部第4章の半密度がその実偏極での姿であることを示す。2節で正則偏極の半形式から零点 $\hbar\omega_0/2$ を出し、共通例題①を正答どおりに解き終える。3節で半形式の対が BKS の対の前因子の位相と偏極への依存を決めることを示し、共通例題③の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ を回収する。4節で、振動子の軌道に沿う偏極の半形式のホロノミーが $-1$ になることから Bohr–Sommerfeld 条件の $\frac12$ を出し、WKB の接続公式と並べる。5節で球面を量子化し、第10部第3章の整数条件 $2S/\hbar\in\mathbb{Z}$ のもとで Hilbert 空間が $2S/\hbar+1$ 次元のスピンの表現になること（Borel–Weil の定理の最も簡単な場合）を示し、共通例題②を解く。6節が橋の節である。

記号は第10部第2〜4章と補足の表に従う。$\omega=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$、$\theta=-p\,\mathrm{d} q$、$X_f=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial }{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial }{\partial p}$（$\iota_{X_f}\omega=\mathrm{d} f$）、$\nabla=\mathrm{d}+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta$、前量子化の演算子は $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)=-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)+f$ である。複素座標は第10部第4章の $z=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\frac q\ell-\mathrm{i}\frac{\ell p}{\hbar}\bigr)$（$\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega_0)}$）で、$\omega=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d} z\wedge\mathrm{d}\bar z$、$X_f=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(f_{\bar z}\partial_z-f_z\partial_{\bar z})$ となる。自由度は $f_{\mathrm d}$、調和振動子の角振動数は $\omega_0$ と書く。この章の計算はほとんど1自由度で行い、多自由度は総合問題で2自由度だけ扱う。

なぜ平方根が要るか

第10部第4章の鉛直の偏極では、偏極した切断は $q$ だけの関数 $\psi(q)$ で、内積 $\int\bar\psi_1\psi_2\,\mathrm{d} q$ の測度 $\mathrm{d} q$ は座標 $q$ の選び方に依存していた。座標を $q=g(\tilde q)$ と取り替えると $\mathrm{d} q=g'(\tilde q)\,\mathrm{d}\tilde q$ なので、$\psi$ をそのまま新しい座標の関数とみなすと内積が $g'$ の分だけずれる。このずれを吸収するには、波動関数を関数でなく「$\mathrm{d} q$ の平方根を掛けたもの」$\psi(q)\sqrt{\mathrm{d} q}$ として扱えばよい。2つの積 $\bar\psi_1\psi_2\sqrt{\mathrm{d} q}^{\,2}=\bar\psi_1\psi_2\,\mathrm{d} q$ は座標によらない密度になり、そのまま積分することができる。1次の形式 $\mathrm{d} q$ をそのまま掛けると積は $(\mathrm{d} q)^2$ になって積分できず、何も掛けないと上の座標依存が残る。積が1次の密度になるのは平方根を掛けたときだけである。

偏極が正則でも同じことが起こる。偏極した切断の内積を決めるには、偏極に沿う微分形式の平方根を切断に添える必要があり、その平方根の変換の仕方が演算子にも補正を付ける。この補正は B. Kostant と R. J. Blattner が1970年代前半に導入したもので¹1B. Kostant (1974), “Symplectic spinors”, Symposia Mathematica XIV, 139–152（Academic Press, London）；R. J. Blattner (1973), “Quantization and representation theory”, Proc. Sympos. Pure Math. 26, 147–165（Amer. Math. Soc.）。下の脚注へ閉じる、半形式補正（またはメタプレクティック補正）と呼ばれる。

定義

例を挙げる。鉛直の偏極 $\operatorname{span}\{\partial_p\}$ では $K_P$ は $\mathrm{d} q$ の倍、水平の偏極 $\operatorname{span}\{\partial_q\}$ では $\mathrm{d} p$ の倍、正則偏極 $\operatorname{span}\{\partial_{\bar z}\}$ では $\mathrm{d} z$ の倍、第10部第4章の自由粒子の流れで傾いた偏極 $\operatorname{span}\{\frac tm\partial_q+\partial_p\}$ では $\alpha_t=\mathrm{d} q-\frac tm\mathrm{d} p$ の倍である。多自由度では $\alpha$ を $f_{\mathrm d}$ 次の形式に替える。

2つの半形式の積を数にする規則を、1自由度で次のように置く。

$$\bigl(\sqrt\alpha,\sqrt\beta\bigr)^2\coloneqq\frac{\bar\alpha\wedge\beta}{-\mathrm{i}\,\omega}\tag{10.5.1}$$

右辺は2形式どうしの比で、ただの複素数（相空間の関数）である。分母の $-\mathrm{i}$ は、正の正則偏極の自分自身との対が正になるように選んだ。実際 $\mathrm{d}\bar z\wedge\mathrm{d} z=-\mathrm{i}\omega/\hbar$ なので $(\sqrt{\mathrm{d} z},\sqrt{\mathrm{d} z})^2=1/\hbar>0$ である。半形式つきの切断の内積は $\bar s_1s_2\,(\nu_1,\nu_2)$ を $\omega/(2\pi\hbar)$ で積分して定める。実偏極の自分自身との対は $\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} q=0$ で0になるので、実偏極では $\bar\nu_1\nu_2=\lvert \mathrm{d} q\rvert$ を葉の空間（ここでは $q$ 軸）の上の密度として積分する。これが1小節目の考え方である。

演算子の補正

量子化される関数 $f$ のハミルトン流が偏極 $P$ を保つとき、流れは $K_P$ も保つので $L_{X_f}\alpha=c_f\,\alpha$（$c_f$ は関数）と書ける（$L$ は Lie 微分）。平方根の Lie 微分は $L_{X_f}\sqrt\alpha=\frac{c_f}{2}\sqrt\alpha$ で定める（$\nu^2=\alpha$ を微分すると $2\nu L\nu=L\alpha$）。半形式つきの演算子を

$$\hat f\,(s\otimes\nu)=\bigl(\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)\,s\bigr)\otimes\nu-\mathrm{i}\hbar\,s\otimes L_{X_f}\nu\tag{10.5.2}$$

と置く。右辺の第2項が半形式補正で、$\nu=\sqrt\alpha$ に対しては掛け算 $-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}c_f$ になる。前量子化の演算子 $-\mathrm{i}\hbar\nabla_{X_f}+f$ が「流れに沿って切断を運ぶ」生成子であったのと同じく、$-\mathrm{i}\hbar L_{X_f}$ は「流れに沿って半形式を運ぶ」生成子であり、補正は運ばれる対象に半形式を足したことの帰結である。

証明

$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}$ は切断 $s$ に、$-\mathrm{i}\hbar L$ は半形式 $\nu$ にだけ作用するので、両者は互いに交換する。前量子化の部分は第10部第3章の結果で $\mathrm{i}\hbar\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(\{f,g\})$ を与える。半形式の部分は、Lie 微分の交換子が $\left[L_{X_f},\,L_{X_g}\right]=L_{\left[X_f,\,X_g\right]}$ を満たすことと、第10部第2章の $\left[X_f,\,X_g\right]=-X_{\{f,g\}}$ から

$$(-\mathrm{i}\hbar)^2\left[L_{X_f},\,L_{X_g}\right]=-\hbar^2L_{\left[X_f,\,X_g\right]}=\hbar^2L_{X_{\{f,g\}}}=\mathrm{i}\hbar\cdot\bigl(-\mathrm{i}\hbar\,L_{X_{\{f,g\}}}\bigr)$$

となり、$\{f,g\}$ の半形式補正の $\mathrm{i}\hbar$ 倍に一致する。2つを足すと主張を得る。

この命題により、半形式補正は第10部第4章で偏極した表現が満たしていた括弧の厳密な保存を壊さない。補正は表現の中で定数や1次の項を足すだけで、代数の構造は変わらない。

実偏極では半密度

鉛直の偏極で $f=a(q)+b(q)p$ を量子化する。$X_f=b\,\partial_q-(a'+b'p)\partial_p$ で、$L_{X_f}\mathrm{d} q=\mathrm{d}(\iota_{X_f}\mathrm{d} q)=\mathrm{d} b=b'\,\mathrm{d} q$ なので $c_f=b'$ である。第10部第4章の $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(a+bp)\psi=-\mathrm{i}\hbar\,b\,\psi'+a\psi$ に補正 $-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}b'$ を足すと

$$\hat f\,\bigl(\psi\sqrt{\mathrm{d} q}\bigr)=\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\Bigl(b\,\psi'+\frac{b'}{2}\psi\Bigr)+a\,\psi\Bigr)\sqrt{\mathrm{d} q} =\Bigl(\frac{b\,\hat p+\hat p\,b}{2}+a\Bigr)\psi\,\sqrt{\mathrm{d} q}\tag{10.5.3}$$

を得る。これは第10部第4章の式で「半密度 $\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ を流れで運ぶ分」として足した項と同じで、半密度の正体が鉛直の偏極の半形式 $\sqrt{\mathrm{d} q}$ であることが分かる（実の偏極では $\sqrt{\mathrm{d} q}$ と $\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ の違いは向きの符号だけで、ここでは区別しない）。

1　B. Kostant (1974), “Symplectic spinors”, Symposia Mathematica XIV, 139–152（Academic Press, London）；R. J. Blattner (1973), “Quantization and representation theory”, Proc. Sympos. Pure Math. 26, 147–165（Amer. Math. Soc.）。