この章のまとめ

(1) $q=\ell_s(z_s+\bar z_s)/\sqrt2$、$p=\mathrm{i}\hbar(z_s-\bar z_s)/(\sqrt2\ell_s)$ で、$\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p=\frac{\ell_s}{\sqrt2}\cdot\frac{\mathrm{i}\hbar}{\sqrt2\ell_s}(\mathrm{d} z_s+\mathrm{d}\bar z_s)\wedge(\mathrm{d} z_s-\mathrm{d}\bar z_s)=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d} z_s\wedge\mathrm{d}\bar z_s$。$\ell_s$ が約されて消える。1自由度では1次元の $P_s$ は自動的に Lagrange で、交換子でも閉じる。$\mathrm{i}\,\omega(\partial_{z_s},\partial_{\bar z_s})=\hbar>0$ なので正である。$\theta_{\mathrm s}=\frac{\mathrm{i}\hbar}2(\bar z_s\mathrm{d} z_s-z_s\mathrm{d}\bar z_s)$ も $\frac12(q\,\mathrm{d} p-p\,\mathrm{d} q)$ のままなので、4節の計算がそのまま使え、切断は $f(z_s)\mathrm{e}^{-\lvert z_s\rvert ^2/2}$ である。

(2) $\partial_{\bar z_s}=\frac{\partial q}{\partial \bar z_s}\partial_q+\frac{\partial p}{\partial \bar z_s}\partial_p=\frac{\ell_s}{\sqrt2}\Bigl(\partial_q-\mathrm{i}\frac{\hbar}{\ell_s^2}\partial_p\Bigr)$。$\ell_s\to0$ では $\partial_p$ の係数 $\hbar/\ell_s^2$ が大きくなり、$P_s$ は $\operatorname{span}\{\partial_p\}$、すなわち鉛直の偏極（位置表示）に近づく。$\ell_s\to\infty$ では $\operatorname{span}\{\partial_q\}$、水平の偏極（運動量表示）に近づく。正則偏極の族が、2つの実偏極を両端に持つ連続な族になっている。

(3) 正則偏極で量子化できる実関数は $c+\alpha z_s+\bar\alpha\bar z_s+\beta\lvert z_s\rvert ^2$ の形で、$z_s^2$ の項を持たないものに限る。$H$ を $z_s$ で書くと $z_s^2$ の係数は$\frac12\partial_{z_s}^2H=\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m\ell_s^2}+\frac{m\omega_0^2\ell_s^2}{2}\Bigr)$ で、これが0になるのは $\ell_s^2=\hbar/(m\omega_0)$、すなわち $\ell_s=\ell$ だけである。$\ell_s\neq\ell$ では $H$ は $P_s$ を保たず、第10部第1章の 議論（2次以下の関数は Weyl 順序で既約に量子化できる）と合わせると、「量子化そのものは同じでも、偏極の切断の上で直接書ける関数の組は偏極ごとに違う」という状況の例になる。

(4) $\mathrm{e}^{-q^2/(2\ell_s^2)}$ の2乗は分散 $\ell_s^2/2$ の Gauss 分布なので $\Delta q^2=\ell_s^2/2$。運動量は $\int\lvert \hbar\psi'\rvert ^2\mathrm{d} q/\int\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d} q=\hbar^2/(2\ell_s^2)$ で $\Delta p^2=\hbar^2/(2\ell_s^2)$。積は $\Delta q\,\Delta p=\sqrt{\ell_s^2/2\cdot\hbar^2/(2\ell_s^2)}=\hbar/2$ で、$\ell_s$ によらず不確定性関係の下限に等しい。$\ell_s\neq\ell$ のとき、この状態は振動子の基底状態を位置の方向に $\ell_s/\ell$ 倍伸ばしたスクイーズド状態である。

(5) $\langle H \rangle =\frac{\Delta p^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2\Delta q^2}{2}=\frac{\hbar^2}{4m\ell_s^2}+\frac{m\omega_0^2\ell_s^2}{4}$。$\ell_s^2$ について微分して0と置くと $\ell_s^4=\hbar^2/(m\omega_0)^2$、すなわち $\ell_s=\ell$ で、最小値は $\frac{\hbar\omega_0}{4}+\frac{\hbar\omega_0}{4}=\frac{\hbar\omega_0}{2}$（相加相乗平均でも出る）。これは共通例題①の正しい零点エネルギーである。一方、命題 10.4.4 の偏極した前量子化では同じ状態（$\ell_s=\ell$ の $f=1$）の固有値が0だった。状態そのものは正しい基底状態なのに、演算子 $\hat H=\hbar\omega_0z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z$ が $\frac12\hbar\omega_0$ だけずれている。このずれを直すのが第10部第5章の半形式補正である。