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橋：偏極した前量子化と基準・表示の選択・位相空間

2026年10月17日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第10部 第4章 偏極
目次
  1. 基準との同値（両向き）
  2. 表示の選択との対応
  3. ほかの部との対応
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第10部 第4章 §10.4.6　★★★ 鉛直の偏極で前量子化を制限したものは基準の Schrödinger 表現と一致する（両向き）。偏極の選び方＝表示の選び方で、偏極を移す BKS の対が Fourier 変換と Bargmann 変換になる

この章の結果は、同値性の地図の橋「幾何学的量子化 ↔ 表示の選択」（偏極の選び方＝表示の選び方）と、「正準量子化 ↔ 幾何学的量子化」の後半（課せる範囲を偏極で決める）にあたる。計画の表の置き場は第10部の中盤で、ここで両向きを証明する。

基準との同値（両向き）

定理 10.4.6（偏極した前量子化は Schrödinger 表現 ★★★）

1自由度・θ=−p dq\theta=-p\,\mathrm{d} q・鉛直の偏極で、偏極した切断の空間に内積 (10.4.3) を入れたものを Hv\mathcal{H}_{\mathrm v} とする。

  1. (i) （幾何学的量子化 → 基準）Hv→L2(R)\mathcal{H}_{\mathrm v}\to L^2(\mathbb{R})、F=ψ(q)↦ψF=\psi(q)\mapsto\psi はユニタリで、Qpre(q)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)、Qpre(p)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p) を位置表示の x^\hat x、p^\hat p に移す。
  2. (ii) （基準 → 幾何学的量子化）逆に、基準の位置表示の ψ∈L2(R)\psi\in L^2(\mathbb{R}) に対し F(q,p)≔ψ(q)F(q,p)\coloneqq\psi(q) は偏極した切断で、x^\hat x、p^\hat p と前量子化の演算子の作用が一致する。第10部第3章の分解 L2(Ru)⊗L2(Rv)L^2(\mathbb{R}_u)\otimes L^2(\mathbb{R}_v) では、FF は 2πℏ ψ(u)δ(v)\sqrt{2\pi\hbar}\,\psi(u)\delta(v)、すなわち余分な変数 vv を0に固定した1つ分にあたる。
証明

(i) 内積 (10.4.3) は L2(R)L^2(\mathbb{R}) の内積そのものなので、写像は等長で全射である。演算子は2節で計算したとおり Qpre(q)ψ=qψ\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)\psi=q\psi、Qpre(p)ψ=−iℏψ′\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p)\psi=-\mathrm{i}\hbar\psi'。(ii) ∇∂pF=∂pψ(q)=0\nabla_{\partial_p}F=\partial_p\psi(q)=0 で偏極している。作用の一致は (i) の計算と同じ。分解との対応は、第10部第3章の F=∫G(q,s)eips/ℏds/2πℏF=\int G(q,s)\mathrm{e}^{\mathrm{i} ps/\hbar}\mathrm{d} s/\sqrt{2\pi\hbar} に G(q,s)=2πℏ ψ(q)δ(s)G(q,s)=\sqrt{2\pi\hbar}\,\psi(q)\delta(s) を入れると F=ψ(q)F=\psi(q) となり、u=q−s=qu=q-s=q、v=s=0v=s=0 だからである。

定理 10.4.6 と定理 10.4.3 を合わせると、偏極を保つ関数 a(q)+b(q)pa(q)+b(q)p については、幾何学的量子化と正準量子化（Weyl 順序）が既約な表現の上で一致する。基準の公理（第1部第2章）の「状態空間は既約な表現」という要請を、偏極が幾何の条件として満たしている。2次以上の関数（p2p^2 など）はこの範囲の外で、3節のように偏極を移す道か、第10部第6章で比べる変形量子化の道が要る。

表示の選択との対応

偏極と表示の対応を1つの表にまとめる。

偏極偏極した切断表示直接量子化できる関数
鉛直 span⁡{∂p}\operatorname{span}\{\partial_p\}ψ(q)\psi(q)位置表示a(q)+b(q)pa(q)+b(q)p
水平 span⁡{∂q}\operatorname{span}\{\partial_q\}eipq/ℏφ(p)\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\varphi(p)運動量表示α(p)+β(p)q\alpha(p)+\beta(p)q（自由粒子を含む）
正則 span⁡{∂zˉ}\operatorname{span}\{\partial_{\bar z}\}f(z)e−∣z∣2/2f(z)\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/2}Bargmann–Fock 表示c+αz+αˉzˉ+β∣z∣2c+\alpha z+\bar\alpha\bar z+\beta\lvert z\rvert ^2（振動子を含む）

第1部第3章の「ハミルトニアンの一番大きい項の固有状態で表示する」という表示の選び方（第1部第3章）は、偏極の言葉では「ハミルトニアンの流れが保つ偏極を選ぶ」ことにあたる。自由粒子は水平の偏極を、振動子は正則偏極を保ち、それぞれの表示でハミルトニアンが掛け算か z d/dzz\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z になった。

表示の間の変換は、偏極を移す BKS の対で与えられる。鉛直と水平の間は式 (10.4.7) の Fourier 変換だった。鉛直と正則の間も同じ形で計算できる。ℏ=ℓ=1\hbar=\ell=1 として、鉛直の切断を対称なゲージで ψ(q)e−iqp/2\psi(q)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qp/2} と書き、正則偏極の再生核の切断 Ew=ewˉz−∣z∣2/2E_w=\mathrm{e}^{\bar wz-\lvert z\rvert ^2/2} との積を pp について積分すると、指数は wzˉ−∣z∣2/2−iqp/2w\bar z-\lvert z\rvert ^2/2-\mathrm{i} qp/2（z=(q−ip)/2z=(q-\mathrm{i} p)/\sqrt2）で pp について2次なので Gauss 積分ができ、

∫Ew‾ ψ(q)e−iqp/2 dp2π=1πexp⁡(−w2+q22+2 wq)ψ(q)(10.4.24)\int\overline{E_w}\,\psi(q)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qp/2}\,\frac{\mathrm{d} p}{2\pi}=\frac{1}{\sqrt\pi}\exp\Bigl(-\frac{w^2+q^2}{2}+\sqrt2\,wq\Bigr)\psi(q)\tag{10.4.24}

となる。これを qq で積分したものは、前因子を除いて Bargmann 変換 (Bψ)(w)=π−1/4∫e−(w2+q2)/2+2wqψ(q) dq(\mathcal B\psi)(w)=\pi^{-1/4}\int\mathrm{e}^{-(w^2+q^2)/2+\sqrt2wq}\psi(q)\,\mathrm{d} q であり、B\mathcal B は位置表示の ψn\psi_n を wn/n!w^n/\sqrt{n!} に移す（第2部第4章の Hermite 関数と Bargmann 表示の基底の対応）。前因子 1/π1/\sqrt\pi と π−1/4\pi^{-1/4} の違いは、3節の ctc_t と同じく半形式で決まる。

例題 10.4.6　位置表示の基底を正則偏極へ移す ★★

オリジナルℏ=ℓ=1\hbar=\ell=1 とし、Bargmann 変換 (Bψ)(w)=π−1/4∫e−(w2+q2)/2+2wqψ(q) dq(\mathcal B\psi)(w)=\pi^{-1/4}\int\mathrm{e}^{-(w^2+q^2)/2+\sqrt2wq}\psi(q)\,\mathrm{d} q を考える。

  1. (1) 振動子の基底状態 ψ0=π−1/4e−q2/2\psi_0=\pi^{-1/4}\mathrm{e}^{-q^2/2} が Bψ0=1\mathcal B\psi_0=1 に移ることを示せ。
  2. (2) 部分積分で B(12(q−ddq)ψ)=w Bψ\mathcal B\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}(q-\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q})\psi\bigr)=w\,\mathcal B\psi を示し、ψ1=2 q ψ0\psi_1=\sqrt2\,q\,\psi_0 が ww に移ることを確かめよ。
  3. (3) (1)(2) の結果を、偏極の言葉（どの偏極のどの切断がどの偏極のどの切断に対応するか）で述べよ。
解答

(1) 被積分関数は π−1/2exp⁡(−q2+2wq−w2/2)\pi^{-1/2}\exp(-q^2+\sqrt2wq-w^2/2) で、qq について平方完成すると −(q−w/2)2-(q-w/\sqrt2)^2 が残り、ww の項は w2/2−w2/2=0w^2/2-w^2/2=0 で消える。∫e−(q−w/2)2dq=π\int\mathrm{e}^{-(q-w/\sqrt2)^2}\mathrm{d} q=\sqrt\pi なので Bψ0=π−1/2π=1\mathcal B\psi_0=\pi^{-1/2}\sqrt\pi=1。

(2) 核を A(w,q)A(w,q) と書くと ∂qA=(−q+2w)A\partial_qA=(-q+\sqrt2w)A。部分積分で ∫A (−ψ′) dq=∫(∂qA)ψ dq=∫(−q+2w)Aψ dq\int A\,(-\psi')\,\mathrm{d} q=\int(\partial_qA)\psi\,\mathrm{d} q=\int(-q+\sqrt2w)A\psi\,\mathrm{d} q なので∫A 12(qψ−ψ′) dq=12∫2wAψ dq=w∫Aψ dq\int A\,\frac{1}{\sqrt2}(q\psi-\psi')\,\mathrm{d} q=\frac{1}{\sqrt2}\int\sqrt2wA\psi\,\mathrm{d} q=w\int A\psi\,\mathrm{d} q。12(q−ddq)ψ0=2qψ0=ψ1\frac{1}{\sqrt2}(q-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q})\psi_0=\sqrt2q\psi_0=\psi_1 なので Bψ1=w⋅1=w\mathcal B\psi_1=w\cdot1=w。

(3) 鉛直の偏極（位置表示）の切断 ψ0\psi_0、ψ1\psi_1 が、正の正則偏極の切断 1⋅e−∣w∣2/21\cdot\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert ^2/2}、w e−∣w∣2/2w\,\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert ^2/2} に対応する。(2) は、鉛直の偏極の a^†=(q^−ip^)/2\hat a^\dagger=(\hat q-\mathrm{i}\hat p)/\sqrt2 と正則偏極の掛け算 zz を BKS の対が結ぶことを表している。

ほかの部との対応

  • 位相空間（第5部）：正則偏極の切断の ∣F∣2/π\lvert F\rvert ^2/\pi は Husimi の QQ 関数である（式 (10.4.20)）。Wigner 関数 WW が相空間の上の「関数の積を変形する」記述なのに対し、正則偏極は相空間の上の「関数の空間を半分に絞る」記述で、同じ ω\omega から別の道を通る。両者の比較は第10部第6章で行う。
  • 第二量子化（第6部）：正則偏極の a^†=z\hat a^\dagger=z、a^=d/dz\hat a=\mathrm{d}/\mathrm{d} z は1モードの Fock 空間の表示で、多モードでは zjz_j の正則関数になる。コヒーレント状態の経路積分（第6部第6章）は、正則偏極の再生核 ewˉz\mathrm{e}^{\bar wz} を時間の細かい区切りごとに挿入したものである。
  • 経路積分（第3部）：3節の式 (10.4.11) は、自由粒子の作用の位相 eiScl/ℏ\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar} を偏極の移し替えから出したもので、前因子が van Vleck 行列式の役を受け持つ（第3部第2章）。
  • 電磁場（解析力学の巻）：平面の正の正則偏極の切断 f(w)e−κ∣w∣2/(4ℏ)f(w)\mathrm{e}^{-\kappa\lvert w\rvert ^2/(4\hbar)}（対称なゲージ）は、κ=eB\kappa=eB のとき最低 Landau 準位の波動関数と同じ形である。5節のトーラスの数え上げは、その縮退度を幾何学的量子化の側から出したものになる。

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