変形量子化の要請：Hilbert 空間を作らずに積を変える

量子力学の様々な構成方法　第10部 第6章 §10.6.1　★★★ 変形量子化の出発点は「関数の積を $\hbar$ の冪級数で結合的に変形する」という要請だけで、1次の反対称部分が Poisson 括弧に決まり、対称部分は同値変換で取り替えられる

第10部第3〜5章では、相空間 $(M,\omega)$ から線束の切断の空間を作り、偏極で半分に絞り、半形式で補正して Hilbert 空間と演算子を組み立てた（第10部第3章・第10部第4章・第10部第5章）。この道で直接演算子にできるのは偏極を保つ関数だけで、半形式つきの量子化はその範囲で Weyl 量子化と一致した。一方、第5部第3章では、Weyl 対応の積の記号として $\star$ 積を導いた（第5部第3章）。$\star$ 積は相空間のすべての関数の上で定義され、交換子は Moyal 括弧に写る。こちらの道では Hilbert 空間を作らない。

この章は第10部の部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値性 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、「限界」と、同値性の地図の橋「幾何学的量子化 ↔ 位相空間」を受け持つ。出発点に置くのは、$\star$ 積そのものを要請の形で書いた変形量子化である。1節で、Hilbert 空間を使わずに「関数の積を $\hbar$ の冪級数で変形する」という要請を書き、1次の項が Poisson 括弧で決まること、同値変換で並べ方の約束が移り合うことを示す。2節で、同じ相空間から Moyal 積・正規順序の積・反正規順序の積の3つを作り、それらが同値であることを示す。3節で共通例題①を変形量子化だけで解き、$\star$ 指数関数の Fourier 展開からスペクトル $\hbar\omega(n+\frac12)$ を読み取る。4節で、第10部第4章の正則偏極の上に Toeplitz 作用素を置くと、偏極を保たない関数まで演算子にでき、その積が反正規順序の $\star$ 積になることを示す。5節で、幾何学的量子化と変形量子化のそれぞれの限界を、偏極が取れない相空間・整数条件・偏極の選び方で変わる答えの3つに分けて並べる。6節が橋の節である。

記号は第10部第2〜5章と補足の表に従う。$\omega=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$、$\{q,p\}=1$、$\theta=-p\,\mathrm{d} q$、前量子化は $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)=-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)+f$、Weyl 量子化は $\mathcal Q_{\mathrm W}[f]$、$\star$ 積は補足の形 $f\star g=f\exp[\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}(\overleftarrow{\partial_q}\overrightarrow{\partial_p}-\overleftarrow{\partial_p}\overrightarrow{\partial_q})]g$、Moyal 括弧は $\{\!\{f,g\}\!\}=(f\star g-g\star f)/(\mathrm{i}\hbar)$ と書く。複素座標は第10部第4章の $z=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\frac q\ell-\mathrm{i}\frac{\ell p}{\hbar}\bigr)$（$\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)}$）で、$\hat a^\dagger$ が $z$、$\hat a$ が $\bar z$ に対応する。共通例題の座標は補足の約束では $x$ だが、相空間の幾何を書くこの章では $(q,p)$ を使い、両者は同じ変数である。調和振動子の角振動数は、2形式 $\omega$ と同じ式に出る所だけ $\omega_0$ と書く。

要請

第10部第1章では、量子化を関数から演算子への写像 $\mathcal Q$ と見て、Poisson 括弧を交換子に厳密に写すことを求めたが、3次の多項式で矛盾した（Groenewold の定理。第10部第1章）。変形量子化は、演算子の側を作らずに、関数の空間の上に新しい積を入れる。量子力学で使うのは演算子の積だけなので、その積を関数の言葉で直接書けば、Hilbert 空間を経由しなくても期待値や時間発展を計算することができる。この考え方を F. Bayen・M. Flato・C. Fronsdal・A. Lichnerowicz・D. Sternheimer が要請の形にまとめた¹1F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978), “Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures”, Ann. Phys. 111, 61–110；“II. Physical applications”, Ann. Phys. 111, 111–151。下の脚注へ閉じる。

(F3) は、$\star$ 交換子を $[f,g]_\star=f\star g-g\star f$ と書くと $[f,g]_\star=\mathrm{i}\hbar\{f,g\}+\mathcal{O}(\hbar^2)$ と同じことで、第2部第2章の正準量子化の処方「Poisson 括弧 → 交換子/$(\mathrm{i}\hbar)$」（第2部第2章）を $\hbar$ の最低次だけ課したものである。Dirac の要請との違いは、括弧の一致を最低次に限ったことにある。$\hbar^2$ 以上の項は自由に残すので、第10部第1章の矛盾（$\hbar^2/3$ の食い違い）はここでは起こらない。第5部第3章の $\star$ 積は (F1)〜(F4) を満たす（結合律と単位元は第5部第3章の命題、$C_1=\frac{\mathrm{i}}{2}\{f,g\}$ は展開の1次の項）。これを Moyal 積と呼ぶ。

入力は Poisson 括弧だけ

要請 (F1)〜(F4) に出てくる幾何の量は Poisson 括弧だけである。前量子化で要った $\theta$（線束の接続）も、偏極も、半形式も出てこない。逆に、Poisson 括弧が Jacobi 恒等式を満たすことは要請から出る。

証明

結合律 (F1) から、$\star$ 交換子は Jacobi 恒等式 $[[f,g]_\star,h]_\star+[[g,h]_\star,f]_\star+[[h,f]_\star,g]_\star=0$ を満たす（各項を展開すると12項が互いに消える。行列の交換子と同じ計算である）。$[f,g]_\star=\mathrm{i}\hbar\{f,g\}+\mathcal{O}(\hbar^2)$ を入れると、各項の最低次は $(\mathrm{i}\hbar)^2\{\{f,g\},h\}$ である。$\hbar^2$ の係数を比べて $\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0$。

この命題は、変形量子化に必要な入力が「Jacobi 恒等式を満たす括弧」、すなわち Poisson 構造であることを述べている。シンプレクティック形式 $\omega$ は Poisson 構造を決めるが（第10部第2章で示した $\Pi=-\Sigma^{-1}$。第10部第2章）、逆は成り立たず、退化した Poisson 構造（磁場の案内中心の平面や、角運動量の空間 $\mathbb{R}^3$ の括弧 $\{S_i,S_j\}=\epsilon_{ijk}S_k$）にも要請はそのまま意味を持つ。

同値変換

$\star$ 積は1つに決まらない。$\mathcal T=1+\hbar\,\mathcal T_1+\hbar^2\mathcal T_2+\cdots$（各 $\mathcal T_n$ は微分作用素、$\mathcal T_n1=0$）で関数を写し、

$$f\star'g=\mathcal T\bigl(\mathcal T^{-1}f\star\mathcal T^{-1}g\bigr)\tag{10.6.2}$$

と定めると、$\star'$ も (F1)〜(F4) を満たす。結合律は $\star$ の結合律を $\mathcal T$ で写しただけで、(F2) は $\mathcal T$ の $\hbar^0$ の項が恒等写像であることから、(F4) は $\mathcal T1=1$ から従う。(F3) は、1次の項が

$$C_1'(f,g)=C_1(f,g)-f\,\mathcal T_1g-(\mathcal T_1f)\,g+\mathcal T_1(fg)\tag{10.6.3}$$

と変わり、追加分が $f$ と $g$ について対称なので反対称部分が変わらないことから従う。$\star'$ と $\star$ を同値な $\star$ 積と呼ぶ。たとえば $\mathcal T_1=c\,\partial_q^2$（$c$ は定数）なら、追加分は $-c\,fg''-c\,f''g+c(fg)''=2c\,f_qg_q$ で、$C_1$ の対称部分が $2c\,f_qg_q$ だけずれる。

同値な $\star$ 積は、演算子の言葉では「同じ演算子の代数を、別の並べ方の約束で関数に写したもの」にあたる。$\mathcal T$ は、ある並べ方の記号を別の並べ方の記号に書き換える写像である。第2部第2章の順序の曖昧さは、変形量子化では「同値類の中のどの $\star$ 積を選ぶか」という形で残る。

1　F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978), “Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures”, Ann. Phys. 111, 61–110；“II. Physical applications”, Ann. Phys. 111, 111–151。