微分形式：1形式・外積・外微分・Stokes の定理

量子力学の様々な構成方法　第10部 第2章 §10.2.1　★★ $\theta$ と $\omega$ を書くための言葉。外微分と Stokes の定理で「面積＝境界の線積分」が座標によらない式になる

第10部第1章では、Poisson 括弧を交換子に写す規則をすべての多項式に課すと矛盾することを示し、残る道の1つとして前量子化の演算子

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)=-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)+f$$

を予告した（第10部第1章）。この式には、相空間の上のベクトル場 $X_f$ と、ベクトルを入れると数を返す $\theta$ という2種類の幾何の対象が入っている。第10部の部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値性 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基本の対象」の前半を受け持ち、前量子化（第3章）と偏極（第4章）を組み立てるのに要る道具を、必要な分だけ最短でそろえる。

この章の出発点は、解析力学の巻で使った相空間の座標 $(q,p)$ と Poisson 括弧

$$\{f,g\}=\sum_{i=1}^{f_{\mathrm d}}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Bigr),\qquad\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}\tag{10.2.1}$$

である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章）。自由度は記法の正本では $f$ と書くが、この章では関数に $f$ を使うので自由度を $f_{\mathrm d}$ と書き、相空間の次元は $2f_{\mathrm d}$ になる。Poisson 括弧の式 (10.2.1) は座標を1組選ばないと書けない。この章の目標は、括弧と同じ情報を座標によらない1つの対象、シンプレクティック形式 $\omega=\sum_i\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d} p_i$ に詰め直し、Hamilton 方程式を「$\omega$ と関数 $H$ からベクトル場 $X_H$ を作る規則」$\iota_{X_H}\omega=\mathrm{d} H$ として書き直すことである。座標によらない形にすると、球面のように1組の座標で覆えない相空間（スピン）も同じ規則で扱え、前量子化の整数条件や偏極の選び方が「$\omega$ の性質」として述べられるようになる。

章は次の順に進む。1節で微分形式（1形式・外積・外微分・Stokes の定理）を、2節でシンプレクティック形式と Darboux の定理を、3節でハミルトンベクトル場と Poisson 括弧の関係を、4節で流れが $\omega$ を保つこと（Lie 微分と Liouville の定理）を、5節で偏極の準備になる Lagrange 部分多様体を扱う。6節が橋の節で、教科書の座標の書き方・量子の交換子・状態ベクトルの Schrödinger 方程式と、この章の形を式で並べる。記号の流儀はこの巻の補足の表に従い、$\omega=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$、$\iota_{X_f}\omega=\mathrm{d} f$、$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ とする。多様体・接ベクトル・余接ベクトルの定義は解析力学の巻（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第13章）にあるので、ここでは $\mathbb{R}^{2f_{\mathrm d}}$ の開集合の座標で計算し、座標を取り替えても式の形が変わらないことだけを確かめる。

接ベクトルと1形式

相空間の座標を $x=(x^1,\dots,x^n)$ と書く（$n=2f_{\mathrm d}$。1自由度なら $x=(q,p)$）。点 $x$ を通る曲線 $x(s)$ の速度 $v^a=\frac{\mathrm{d} x^a}{\mathrm{d} s}$ が接ベクトルで、これを関数に当てると方向微分 $v(F)=\sum_av^a\,\partial F/\partial x^a$ を返すので、接ベクトルを微分作用素 $v=\sum_av^a\partial_a$（$\partial_a=\partial/\partial x^a$）と同一視する。相空間の各点に接ベクトルを1つずつ割り当てたものがベクトル場で、Hamilton 方程式 $\dot q=\partial H/\partial p$, $\dot p=-\partial H/\partial q$ の右辺はベクトル場 $\frac{\partial H}{\partial p}\partial_q-\frac{\partial H}{\partial q}\partial_p$ である。

接ベクトルを1つ入れると実数を返す線形写像を 1形式（余接ベクトル）と呼ぶ。座標の微分 $\mathrm{d} x^a$ を「接ベクトルの第 $a$ 成分を読む」写像 $\mathrm{d} x^a(v)=v^a$ と定めると、1形式は $\alpha=\sum_a\alpha_a(x)\,\mathrm{d} x^a$ と書け、$\alpha(v)=\sum_a\alpha_av^a$ となる。関数 $F$ の微分 $\mathrm{d} F=\sum_a\partial_aF\,\mathrm{d} x^a$ は1形式で、$\mathrm{d} F(v)=v(F)$（$F$ の $v$ 方向の変化率）である。座標を $x\to x'$ に取り替えると、$v^a$ は $\partial x'^a/\partial x^b$ で、$\alpha_a$ は $\partial x^b/\partial x'^a$ で変わり、縮約 $\alpha(v)$ は座標によらない（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第13章）。

前量子化に出てくる $\theta=-p\,\mathrm{d} q$ は1形式で、接ベクトル $v=v^q\partial_q+v^p\partial_p$ に $\theta(v)=-p\,v^q$ を返す。

外積と2形式

接ベクトルを2つ入れると実数を返し、両方について線形で、入れる順を替えると符号が変わる写像を 2形式と呼ぶ。1形式 $\alpha,\beta$ から2形式を作る操作が外積

$$(\alpha\wedge\beta)(u,v)=\alpha(u)\beta(v)-\alpha(v)\beta(u)\tag{10.2.2}$$

で、定義から $\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha$、特に $\alpha\wedge\alpha=0$ である。1自由度の相空間では

$$(\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p)(u,v)=u^qv^p-u^pv^q$$

で、これは $u$ と $v$ が張る平行四辺形の向きつき面積である。2形式は一般に $\sigma=\sum_{a<b}\sigma_{ab}\,\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b$（$\sigma_{ab}=-\sigma_{ba}$）と書け、$\sigma(u,v)=\sum_{a,b}\frac12\sigma_{ab}(u^av^b-u^bv^a)=u^{\mathsf T}\Sigma v$（$\Sigma$ は成分 $\sigma_{ab}$ を並べた反対称行列）となる。同様に $k$ 個の接ベクトルについて反対称な多重線形写像を $k$ 形式と呼び、外積は $k$ 形式と $l$ 形式から $k+l$ 形式を作る。関数は0形式とみなす。

外微分

関数（0形式）$F$ から1形式 $\mathrm{d} F$ を作った操作を、$k$ 形式から $k+1$ 形式を作る操作に広げたものが外微分である。1形式 $\alpha=\sum_b\alpha_b\,\mathrm{d} x^b$ に対しては

$$\mathrm{d}\alpha=\sum_{a,b}\partial_a\alpha_b\,\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b=\sum_{a<b}\bigl(\partial_a\alpha_b-\partial_b\alpha_a\bigr)\,\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b\tag{10.2.3}$$

と定める。3次元のベクトル解析では、成分 $\partial_a\alpha_b-\partial_b\alpha_a$ は回転 $\nabla\times\bm{\alpha}$ の成分である。2形式 $\sigma$ の外微分も同じ規則で $\mathrm{d}\sigma=\sum_{a<b}\sum_c\partial_c\sigma_{ab}\,\mathrm{d} x^c\wedge\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b$ と定め、3次元では発散 $\nabla\cdot$ にあたる。外微分は次の性質を持つ。

証明

(i) を0形式で示す。$\mathrm{d}(\mathrm{d} F)=\sum_{a,b}\partial_a\partial_bF\,\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b$ で、$\partial_a\partial_bF$ は $a,b$ について対称、$\mathrm{d} x^a\wedge\mathrm{d} x^b$ は反対称なので、和は0になる。1形式でも、$\mathrm{d}(\mathrm{d}\alpha)$ の係数は $\partial_c\partial_a\alpha_b$ を $a,b,c$ について反対称化したもので、2階偏微分の対称性から0になる。(ii) は1回の偏微分の Leibniz 則 $\partial_a(FG)=\partial_aF\,G+F\,\partial_aG$ を成分で書いたもので、$(-1)^k$ は $\mathrm{d} x^a$ を $\alpha$ の $k$ 個の $\mathrm{d} x$ の向こう側へ並べ替えるときの符号である。(iii) は、$\mathrm{d} F$ が座標によらずに「$F$ の変化率」として定まることと、(i)(ii) から従う。$\alpha=\sum_b\alpha_b\,\mathrm{d} x^b$ に (ii) と (i) を当てると$\mathrm{d}\alpha=\sum_b\mathrm{d}\alpha_b\wedge\mathrm{d} x^b+\sum_b\alpha_b\,\mathrm{d}(\mathrm{d} x^b)=\sum_b\mathrm{d}\alpha_b\wedge\mathrm{d} x^b$ となり、右辺は関数の微分と外積だけで書かれているので、どの座標で計算しても同じ形式になる。

前量子化で使う計算を1つしておく。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ の外微分は

$$\mathrm{d}\theta=-\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p\tag{10.2.4}$$

である。$q\,\mathrm{d} p$ や $\frac12(q\,\mathrm{d} p-p\,\mathrm{d} q)$ の外微分も同じ $\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$ になる。外微分が同じ1形式どうしの差は $\mathrm{d}(qp)$ や $\mathrm{d}(qp/2)$ で、これは次の小節で述べる「完全形式」になっている。

閉形式・完全形式と Stokes の定理

$\mathrm{d}\alpha=0$ を満たす形式を閉形式、ある形式 $\beta$ で $\alpha=\mathrm{d}\beta$ と書ける形式を完全形式と呼ぶ。$\mathrm{d}^2=0$ から完全形式は必ず閉じている。逆は局所的にだけ成り立ち、これを Poincaré の補題と呼ぶ（星形の開集合、例えば球の内部では、閉形式は完全形式である）。大域的に逆が成り立たない例が次の箱の角の形式で、第10部第3章の Aharonov–Bohm 効果と整数条件はこの差から出てくる。

形式は曲線や曲面の上で積分できる。1形式は曲線の上で、$\int_\gamma\alpha=\int\alpha(\dot\gamma(s))\,\mathrm{d} s$ と積分する（接ベクトルを入れて数にし、パラメータで積分する）。2形式は向きを付けた曲面の上で積分する。両者は次の定理で結ばれる。

平面の1形式では、これは Green の定理 $\int_D(\partial_x\alpha_y-\partial_y\alpha_x)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\oint_{\partial D}(\alpha_x\mathrm{d} x+\alpha_y\mathrm{d} y)$ そのものである。$(q,p)$ 平面で $\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$ が正になる向きを取ると、$\partial D$ は $(q,p)$ 平面で反時計回りに回る。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ に当てると、$\mathrm{d}\theta=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$ から

$$\text{（}{D}\text{ の面積）}=\int_D\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p=\oint_{\partial D}\theta=-\oint_{\partial D\text{（反時計回り）}}p\,\mathrm{d} q\tag{10.2.6}$$

となる。Hamilton 系の周期軌道は $(q,p)$ 平面を時計回りに回る（$p>0$ の上半分で $\dot q=p/m>0$）ので、運動の向きに積分した $\oint p\,\mathrm{d} q$ は囲む面積に等しい。これが作用変数 $J=\frac1{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q$ が面積の $1/(2\pi)$ になる理由である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第14章）。