同じ相空間から $\star$ 積を作る：Moyal・正規・反正規

量子力学の様々な構成方法　第10部 第6章 §10.6.2　★★★ 平面の上では Moyal 積・正規順序の積・反正規順序の積が熱の方程式の形の同値変換で移り合う。一般のシンプレクティック多様体でも $\star$ 積は存在し、整数条件は要らない

Moyal 積は定数の Poisson テンソルだけで書ける

Moyal 積の指数の中身 $\overleftarrow{\partial_q}\overrightarrow{\partial_p}-\overleftarrow{\partial_p}\overrightarrow{\partial_q}$ は、Poisson テンソル $\Pi^{ij}$（$\{f,g\}=\Pi^{ij}\partial_if\,\partial_jg$）を使うと$\Pi^{ij}\overleftarrow{\partial_i}\overrightarrow{\partial_j}$ と書ける。Moyal 積は

$$f\star g=f\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\Pi^{ij}\overleftarrow{\partial_i}\overrightarrow{\partial_j}\Bigr)g\tag{10.6.4}$$

で、$\Pi$ が座標によらない定数であることだけを使っている。線形な座標変換で $\Pi$ が保たれれば式も保たれるので、複素座標 $z,\bar z$ で書いてもよい。第10部第4章の $z$ では $q=\ell(z+\bar z)/\sqrt2$、$p=\mathrm{i}\hbar(z-\bar z)/(\sqrt2\ell)$ で、$\partial_q=\frac{1}{\sqrt2\ell}(\partial_z+\partial_{\bar z})$、$\partial_p=-\frac{\mathrm{i}\ell}{\sqrt2\hbar}(\partial_z-\partial_{\bar z})$ となる。これを入れて整理すると（$(A+B)\otimes(A-B)-(A-B)\otimes(A+B)=2(B\otimes A-A\otimes B)$ を使う）

$$\{f,g\}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(f_{\bar z}g_z-f_zg_{\bar z}\bigr),\qquad f\star g=f\exp\Bigl[\frac12\bigl(\overleftarrow{\partial_{\bar z}}\overrightarrow{\partial_z}-\overleftarrow{\partial_z}\overrightarrow{\partial_{\bar z}}\bigr)\Bigr]g\tag{10.6.5}$$

を得る。$\bar z\star z-z\star\bar z=\frac12-(-\frac12)=1$ で、$[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ と一致する。$\hbar$ は $z$ の定義の中に吸収されている。

正規順序と反正規順序の積

演算子を $\hat a^\dagger$ がすべて左に並んだ形 $\sum c_{mn}\hat a^{\dagger m}\hat a^n$ で書き、関数 $\sum c_{mn}z^m\bar z^n$ を対応させるのが正規順序の記号、$\hat a$ をすべて左に並べた $\sum c_{mn}\hat a^n\hat a^{\dagger m}$ に $\sum c_{mn}z^m\bar z^n$ を対応させるのが反正規順序の記号である。それぞれの積の記号は

$$f\star_{\mathrm N}g=f\exp\bigl(\overleftarrow{\partial_{\bar z}}\overrightarrow{\partial_z}\bigr)g,\qquad f\star_{\mathrm A}g=f\exp\bigl(-\overleftarrow{\partial_z}\overrightarrow{\partial_{\bar z}}\bigr)g\tag{10.6.6}$$

で与えられる。正規順序の式は、並べ替えの公式 $\hat a^n\hat a^{\dagger k}=\sum_jj!\binom nj\binom kj\hat a^{\dagger k-j}\hat a^{n-j}$ が$\frac{1}{j!}\partial_{\bar z}^j(\bar z^n)\,\partial_z^j(z^k)=j!\binom nj\binom kj\bar z^{n-j}z^{k-j}$ と項ごとに一致することから従う。反正規順序も、$\hat a^\dagger$ と $\hat a$ の役を入れ替え、$[\hat a^\dagger,\hat a]=-1$ の符号を付けて同じ計算になる。たとえば $\bar z\star_{\mathrm N}z=\lvert z\rvert ^2+1$（$\hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1$）、$z\star_{\mathrm A}\bar z=\lvert z\rvert ^2-1$（$\hat a^\dagger\hat a=\hat a\hat a^\dagger-1$）である。どちらも定義 10.6.1 を満たし、$C_1$ が対称部分（$\pm\frac12(f_{\bar z}g_z+f_zg_{\bar z})$）を持つ点だけが Moyal 積と違う。

証明

変位演算子 $\hat D(\xi)=\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger-\bar\xi\hat a}$ で確かめれば十分である（$\xi$ について Fourier 展開すると、すべての演算子がこれらの重ね合わせになる）。$\xi\hat a^\dagger-\bar\xi\hat a$ は $q,p$ の1次式なので、第5部第2章の結果から Weyl 記号は $\mathrm{e}^{\xi z-\bar\xi\bar z}$ である。BCH の公式で $\hat D(\xi)=\mathrm{e}^{-\lvert \xi\rvert ^2/2}\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\mathrm{e}^{-\bar\xi\hat a}=\mathrm{e}^{\lvert \xi\rvert ^2/2}\mathrm{e}^{-\bar\xi\hat a}\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}$ なので、正規順序の記号は $\mathrm{e}^{-\lvert \xi\rvert ^2/2}\mathrm{e}^{\xi z-\bar\xi\bar z}$、反正規順序の記号は $\mathrm{e}^{+\lvert \xi\rvert ^2/2}\mathrm{e}^{\xi z-\bar\xi\bar z}$ である。$\partial_z\partial_{\bar z}$ は $\mathrm{e}^{\xi z-\bar\xi\bar z}$ に $-\lvert \xi\rvert ^2$ を掛けるので、$\mathcal T_{\mathrm N}$ は $\mathrm{e}^{-\lvert \xi\rvert ^2/2}$ を、$\mathcal T_{\mathrm A}$ は $\mathrm{e}^{+\lvert \xi\rvert ^2/2}$ を掛け、記号の書き換えになっている。3つの積はどれも演算子の積の記号なので、記号の書き換え $\mathcal T$ は積の書き換え (10.6.7) を与える。式 (10.6.8) は $\partial_z=\frac{\ell}{\sqrt2}\partial_q+\frac{\mathrm{i}\hbar}{\sqrt2\ell}\partial_p$、$\partial_{\bar z}=\frac{\ell}{\sqrt2}\partial_q-\frac{\mathrm{i}\hbar}{\sqrt2\ell}\partial_p$ の積から出る。$\mathrm{e}^{a\partial_q^2}$ は Gauss 関数の分散を $2a$ 増やすので、$\mathcal T_{\mathrm N}$ は分散をそれぞれ $\ell^2/2$、$\hbar^2/(2\ell^2)$ 増やす。

正規順序の記号は Glauber–Sudarshan の $P$ 関数と、反正規順序の記号は Husimi の $Q$ 関数と組になる（補足の表の「P は正規順序・Q は反正規順序の期待値を与える」）。期待値は $\langle \hat A \rangle =\int WA_{\mathrm W}\,\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p$ で、$A_{\mathrm W}=\mathcal T_{\mathrm N}A_{\mathrm A}$ を入れて部分積分で $\mathcal T_{\mathrm N}$ を $W$ の側へ移すと

$$\langle \hat A \rangle =\int(\mathcal T_{\mathrm N}W)\,A_{\mathrm A}\,\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p,\qquad Q=\mathcal T_{\mathrm N}W\tag{10.6.9}$$

となる（$\partial_q^2$、$\partial_p^2$ は部分積分で符号を変えない）。$Q$ が $W$ を Gauss 関数で平均したものであることは、第5部第6章の光の状態の地図でも使う（第5部第6章）。

一般の相空間

平面より一般のシンプレクティック多様体では、式 (10.6.4) の $\Pi$ が座標によるので、そのままでは結合律が崩れる。それでも $\star$ 積は存在する。M. De Wilde と P. B. A. Lecomte は1983年に、任意のシンプレクティック多様体で (F1)〜(F4) を満たす $\star$ 積を $\hbar$ の次数ごとに組み立てられること（各次数で現れる障害がすべて消えること）を示した¹1M. De Wilde, P. B. A. Lecomte (1983), “Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds”, Lett. Math. Phys. 7, 487–496。下の脚注へ閉じる。B. V. Fedosov は、接空間ごとの Moyal 積をシンプレクティック接続で張り合わせる幾何の構成を与えた²2B. V. Fedosov (1994), “A simple geometrical construction of deformation quantization”, J. Differential Geom. 40, 213–238。下の脚注へ閉じる。さらに M. Kontsevich は、退化したものを含む任意の Poisson 多様体に $\star$ 積があることを示した³3M. Kontsevich (2003), “Deformation quantization of Poisson manifolds”, Lett. Math. Phys. 66, 157–216（プレプリントは 1997 年）。下の脚注へ閉じる。Kontsevich の構成は名前だけ挙げ、この巻では使わない。

ここで幾何学的量子化と違う点がはっきりする。$\star$ 積の存在には、$\int\omega/(2\pi\hbar)\in\mathbb{Z}$ のような整数条件が要らない。$\hbar$ は数ではなく形式的な展開のパラメータなので、「$\hbar$ がある値のときだけ量子化できる」という条件を置く場所がない。この違いが5節の限界の比較の中心になる。

1　M. De Wilde, P. B. A. Lecomte (1983), “Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds”, Lett. Math. Phys. 7, 487–496。

2　B. V. Fedosov (1994), “A simple geometrical construction of deformation quantization”, J. Differential Geom. 40, 213–238。

3　M. Kontsevich (2003), “Deformation quantization of Poisson manifolds”, Lett. Math. Phys. 66, 157–216（プレプリントは 1997 年）。